Znaleźć pozostałe pierwiastki

[drooone]

Mam wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{6} -6 x^{5} +18 x^{4} -28 x^{3} +31 x^{2} -22x+14}\)

mam pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} =1-i}\) oraz \(\displaystyle{ x_{2} =2- \sqrt{3i}}\)

Polecenie oblicz pozostale pierwiastki:
2 nastepne pierwiastki to liczby sprzeżone do \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\)

ale potem jak licze z twierdzenia Bezout
czyli pierwiastek \(\displaystyle{ x_{1}}\) * jego sprzezenie itd to wychodzi mi pierwiastek \(\displaystyle{ x_{2}}\)
i na odwrot jak mnoze \(\displaystyle{ x_{2}}\) razy jego sprzezenie to dostaje \(\displaystyle{ x_{1}}\).

Czy ktos mogłby mi pomoc jak policzyc pozostale pierwiastki

Pozdrawiam i z gory dzieki

[nowheredense_man]

Troszkę nieczytelny ten wielomian, ale jeśli dobrze zrozumiałem, to: masz wielomian \(\displaystyle{ 6}\) stopnia, masz jego dwa zespolone pierwiastki o niezerowych częściach urojonych. Jeśli tak, to teraz zauważ, że jeśli \(\displaystyle{ z_1}\) jest pierwiastkiem, to i sprzężenie \(\displaystyle{ z_1}\) nim jest. Wydzielając przez wielomiany \(\displaystyle{ z^2+z_{k}^2}\), \(\displaystyle{ k=1,2}\) otrzymasz wielomian \(\displaystyle{ 2}\) stopnia, którego pierwiastki znajdziesz już bez większego trudu

[drooone]

Dzieki za odp ale troszke nie lapie 2 twoje pierwsze zdania sa jak najbardziej jasne mam pierwiastek
\(\displaystyle{ x_{1} =1-i}\) i \(\displaystyle{ x_{2} =2- \sqrt{3i}}\) 2 kolejne pierwiastki to liczby do nich sprzezone czyli \(\displaystyle{ x_{3} =1+i}\) oraz \(\displaystyle{ x_{4} =2+ \sqrt{3i}}\)

Ale w jaki sposob mam uproscic moj wielomian moglbys to przedstawic na moich oznaczeniach
jesli moge prosic mialem niestety dluga przerwe w matmie jakies 8lat i postanowilem wrocic do szkoly i nie zawsze lapie w lot:).

Pozdrawiam

[Mikz]

Żeby uprościć wielomian musisz go sobie podzielić przez dwumian \(\displaystyle{ (z-z_{0})}\) i zapisać w postaci \(\displaystyle{ W(z)=Q(z)\cdot(z-z_{0})}\) gdzie \(\displaystyle{ Q(z)}\) jest wynikiem dzielenia wielomianu przez tenże dwumian, potem kombinować np. z grupowaniem wyrazów, podstawianiem pod \(\displaystyle{ z}\) podzielników wyrazu wolnego lub kiedy dojdziesz już do wielomianu stopnia drugiego, możesz kombinować z rozwiązywaniem równania kwadratowego.

Tak jak napisał nowheredense_man, jeśli masz pierwiastek:
\(\displaystyle{ z_{0}=1-i}\)
to możesz na podstawie tego wywnioskować kolejny pierwiastek który jest liczbą sprzężoną do \(\displaystyle{ z_{0}}\), czyli:
\(\displaystyle{ z_{1}=\overline{z_{0}}=a-bi \\
a=1 \\ b=-1 \\ -b=1 \\ z_{1}=1+i}\)

A jeśli nie wiesz jak dzielić wielomiany i znajdować kolejne pierwiastki to, naprawdę, musisz się porządnie przyłożyć i nadrobić materiał z liceum.

Aha, i nie oznaczaj liczby zespolonej w wielomianie przez \(\displaystyle{ x}\) bo to strasznie mylące. Oznaczaj jako \(\displaystyle{ z}\).

[drooone]

Dobra mam nadzieje ze nie macie mnie jeszcze dosc:)
Zrobilem tak:
do mojego pierwiastka
\(\displaystyle{ z_{1}}\)=1-i wyznaczyle pierwiastek sprzezony \(\displaystyle{ z_{1}}\)=1+i

Z twierdzenia Bezout wynika
(z-1-i)*(z-1+i)=\(\displaystyle{ z^{2}}\)-2z+2

Nastepnie moj wielomian podzielilem przez \(\displaystyle{ z^{2}}\)-2z+2

wyszlo mi takie cudo: \(\displaystyle{ z^{4}}\)-4\(\displaystyle{ z^{3}}\)+8\(\displaystyle{ z^{2}}\)-4z+7

z tego zrobilem (\(\displaystyle{ z^{2}}\)+1)(\(\displaystyle{ z^{2}}\)-4z+7)

z tego drugiego rownania kwadratowego obliczylem Delte i oba pierwiastki

\(\displaystyle{ z_{3}}\)=2-\(\displaystyle{ \sqrt{3i}}\) oraz
\(\displaystyle{ z_{4}}\)=2+\(\displaystyle{ \sqrt{3i}}\)

czyli mam juz 4 pierwiastki co dalej poradzcie mialem nadzieje ze z tego dzielenia powyzej dostane
troche inne pierwiastki bo te co mi wyszly to jeden mam a drugi to tylko do niego sprzezony
jak zrobie podobny manewr z z3 i z4 to dostane z z1 i z2

[Mikz]

Jeśli bierzemy pod uwagę rozwiązania w dziedzinie zespolonej, to wielomian stopnia n ma n pierwiastków więc brakuje Ci dwóch.
Zostaje Ci człon \(\displaystyle{ (x^{2}+1)}\) i on ma dwa rozwiązania w dziedzinie zespolonej.
\(\displaystyle{ (x^{2}+1)=0 \Rightarrow x^{2}=-1 \\ x=\sqrt{-1}\ lub \ x=-\sqrt{-1} \\ czyli \\ x_{5}=i \\ x_{6}=-i}\)

[drooone]

Wielkie dzieki za pomoc