Zapis w postaci trygonometrycznej

[anulka2012]

Witam, mam za zadanie zapisać \(\displaystyle{ (-1 +i) ^{30}}\) w postaci trygonometrycznej.Opisze co po kolei robiłam:
1)Obliczyłam moduł \(\displaystyle{ \left|z\right|=\sqrt{2}}\)
2)Za pomocą płaszczyzny zespolonej obliczyłam że \(\displaystyle{ \varphi= \frac{3}{4} \pi}\)
3)Obliczyłam za pomocą wzoru Moivre'a: \(\displaystyle{ z ^{15} \cdot (\cos22 \frac{1}{2} \pi +\sin22 \frac{1}{2} \pi)}\)

I teraz mam pytanie, czy dobrze to liczyłam(jeśli nie to jak to się liczy)? Oraz jak uprościć to wyrażenie z 3 punktu?

[Qń]

Nie napisałaś co rozumiesz przez \(\displaystyle{ z}\). Należy wyraźnie zaznaczyć, że oznaczasz \(\displaystyle{ z=-1+i}\). Następnie zapisujesz tę liczbę w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} \cdot \left(\cos \frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)}\)

Ze wzoru de Moivre'a dostajemy zatem:
\(\displaystyle{ z^{30}=2^{15} \cdot \left( \cos 22 \frac{1}{2} \pi +i\sin 22 \frac{1}{2} \pi \right)}\)

Z uwagi na to, że i cosinus i sinus mają okres \(\displaystyle{ 2\pi}\) możemy napisać, że to wyrażenie jest dalej równe:
\(\displaystyle{ 2^{15} \cdot \left( \cos \frac{1}{2} \pi +i\sin \frac{1}{2} \pi \right) =
2^{15} \cdot (0+i)=i\cdot 2^{15}}\)

Q.

[anulka2012]

Dzięki, ale mógłbym mi ktoś jeszcze wyjaśnić ten ostatni krok rozwiązywania tego zadania? Ok, wiem że cos i sinus mają okres 2\(\displaystyle{ \pi}\), ale skąd bierze się to \(\displaystyle{ (0+i)}\)?

Z góry dzięki

[Qń]

\(\displaystyle{ \cos \frac{1}{2}\pi = 0\\
\sin \frac{1}{2}\pi = 1}\)

Q.

[anulka2012]

Dzięki. Jeszcze jedno (ostatnie pytanie), dlaczego liczba 22 "znika" a 1/2 druga zostaje? Tak będzie w każdym tego typu zdaniu?

[Qń]

Skoro \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest okresem np. cosinusa, to znaczy że do argumentu cosinusa można dodać lub odjąć dowolną wielokrotność całkowitą \(\displaystyle{ 2\pi}\), a wartość cosinusa nie zmieni się.

Q.