Wyznaczyć Re,Im

[Rafael89]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ Re \frac{1}{z}}\), \(\displaystyle{ Im \frac{1}{z}}\) dla \(\displaystyle{ z= \frac{\left( -i\right) ^{3}\left( 1-i\right ) ^{10} }\left( \sqrt{3}-i \right) ^{8} }{}}\)

[kolorowe skarpetki]

1. Odwracamy liczbę \(\displaystyle{ z}\) :

\(\displaystyle{ \frac{1}{z}=\frac{(\sqrt{3} -i)^8}{(-i)^3 \cdot (1-i)^{10}}}\)

2. Wyznaczamy odpowiednie potęgi liczb występujących w postaci liczby \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) : \(\displaystyle{ -i \, , \, 1-i \, , \, \sqrt{3}-i}\) (posługując się postacią trygonometryczną liczby zespolonej i wzorem de Moivre'a) :

\(\displaystyle{ (-i)^3=(-1)^3 \cdot i^2 \cdot i=-1 \cdot (-1) \cdot i=i}\)

\(\displaystyle{ (1-i)^{10}=-32i}\)

\(\displaystyle{ (\sqrt{3}-i)^8=-128+128\sqrt{3}i}\)

3. Zapisujemy liczbę \(\displaystyle{ \frac{1}{z}}\) w postaci kanonicznej :

\(\displaystyle{ \frac{1}{z}=\frac{-128+128\sqrt{3}i}{i \cdot (-32i)}=\frac{-128+128\sqrt{3}i}{32}=-4+4\sqrt{3}i}\)

4. Wypisujemy część rzeczywistą i urojoną :

\(\displaystyle{ Re \frac{1}{z}=-4}\)

\(\displaystyle{ Im \frac{1}{z}=4 \sqrt{3}}\)