W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równania

[Rafael89]

a)\(\displaystyle{ 27z^{3}-8=0}\)
b)\(\displaystyle{ z^{2}-\left( 2+1\right)z+\left(-1+7i\right)=0}\)
c)\(\displaystyle{ z^{3}+2i=0}\)

Proszę o rozwiązanie ???????????????????-- 25 paź 2010, o 21:05 --Pomoże ktoś mi to rozwiązać

[Crizz]

W pierwszym zacznij od zastosowania wzoru skróconego mnożenia (na różnicę sześcianów). Dostaniesz do rozwiązania równanie liniowe i kwadratowe.

Drugie to zwykłe równanie kwadratowe. Myślę, że umiesz takie rozwiązywać. Jeśli jednak z którymś etapem rozwiązania miałbyś problem, to napisz, czego konkretnie on dotyczy.

Trzecie sprowadza się do znalezienia wszystkich pierwiastków trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ -2i}\). Polecam zapoznanie się z 2524.htm?hilit=pierwiastek .

[Mikz]

\(\displaystyle{ a) 27z^{3}-8=0}\)
Rozwiązałem to, proszę kogoś lepszego o potwierdzenie czy dobrze. Sposób jest dobry ale mogłem się rąbnąć.

\(\displaystyle{ 27z^{3}-8=(3z)^{3}-2^{3}\\ \\
(3z)^{3}=2^{3} \\ \\
z_{0}=\frac{2}{3} \\ \\ |z_{0}| = \sqrt{(\frac{2}{3})^{2}}=\frac{2}{3} \\
z_{1}=\frac{2}{3}\cdot(cos(\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{2\pi}{3}))=(-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{3}i \\
z_{2}=\frac{2}{3}\cdot(cos(\frac{4\pi}{3})+isin(\frac{4\pi}{3}))=(-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{3}i}\)

Edit: Tu dalej było wyjątkowo głupie pytanie poparte zupełnie błędnymi obliczeniami i kretyńsko wysnutym wnioskiem. Stwierdzam że może zamiast je zadawać, od razu przyznam się że jestem debilem

Edit: No tak, pomyliłem sinusy i cosinusy. Poniżej prawidłowo:
\(\displaystyle{ z_{1}=\frac{2}{3}\cdot(cos(\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{2\pi}{3}))=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}i \\
z_{2}=\frac{2}{3}\cdot(cos(\frac{2\pi}{3})+isin(\frac{2\pi}{3}))=(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)\cdot\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}i}\)

[Makier01]

a)
\(\displaystyle{ 27z^3-8=0\\
(3z-2)(9z^2+6z+4)=0\\
(3z-2)((3z+1)^2+3)=0\\
(3z-2)(z+\frac{1}{3}-3i)(z+\frac{1}{3}+3i)=0\\}\)
Teraz łatwo odczytać pierwiastki
b) policz deltę...
c) Możesz podobnie jak przykład a).

[Mikz]

Makier, może to kiepskie źródło, ale potwierdza moje obliczenia z \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}i}\). Nie mam cierpliwości do przekształcenia Twojego wynikowego równania z powrotem, ale mam wrażenie że masz błąd, albo ja się mylę razem z tym solverem do którego podałem linka.

[Makier01]

Walnąłem się w jednym miejscu, licząc część urojoną.
\(\displaystyle{ 27z^3-8=0\\(3z-2)(9z^2+6z+4)=0\\(3z-2)((3z+1)^2+3)=0\\(3z-2)(z+\frac{1}{3}-\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{3}}i)(z+\frac{1}{3}+\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{3}}i)=0\\}\)

Te rozwiązania są już na bank dobre - sprawdziłem na Wolframalpha.