Interpretacja geometryczna - jak dojść do równania okręgu?

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Alister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 10 mar 2010, o 15:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 23 razy

Interpretacja geometryczna - jak dojść do równania okręgu?

Post autor: Alister »

Mam zasadniczy problem, otóż nie znam się dość dobrze na liczbach zespolonych, i jak długo myślę nad równaniami nt liczb zespolonych, tak długo nie mogę dojść do żadnego wniosku ^^' ja wiem że wynikiem mojej nierówności ma być okrąg, ale kompletnie nie widzę tego, jak dojść do równania okręgu. W dość niedawnym temacie było rozwiązane takie dość podobne do mojego równanie. \(\displaystyle{ |5z - 10 + 5i| = 25}\) . Czy ktoś mógłby mi wyjaśnić skąd się bierze przekształcenie \(\displaystyle{ |z-2+i|=5}\) na \(\displaystyle{ (a-2)^2+(b+1)^2=5^2}\) ? ja z tego co było napisane w tamtym temacie to domyślam się że to coś na odległość punktów, ale wogóle tego nie widzę. Byłbym wdzięczny gdyby ktoś to rozpisał :)

Ja domyslam się że to coś bardzo prostego co mogło mi uciec w trakcie wakacji ale wychodzę z założenia że lepiej przełamać wstyd i zapytać teraz niż obudzić się dzień przed kolokwium ^^'
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Interpretacja geometryczna - jak dojść do równania okręgu?

Post autor: »

Ogólnie: \(\displaystyle{ \{ z \ : \ |z-z_0|=r\}}\) to zbiór punktów odległych od \(\displaystyle{ z_0}\) o \(\displaystyle{ r}\). Co wynika z tego, że odległość między punktami \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) to \(\displaystyle{ |z_1-z_2|}\).

Bardzo prosto przekształcić to na równanie okręgu znane z liceum - jeśli \(\displaystyle{ z=x+iy, z_0=a+bi}\), to:
\(\displaystyle{ |z-z_0|=|x+iy-a-ib|=|x-a+i(y-b)|=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ |z-z_0|=r \Leftrightarrow \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r \Leftrightarrow (x-a)^2+(y-b)^2=r^2}\)

Q.
ODPOWIEDZ