mnożenie postaci trygonomatrycznej(l. zespolonej)

[sylvuszka]

Witam, mam problem z mnożeniem(tak jak w temacie). Jeśli ktoś mółby wytłumaczyć krok po kroku jak to się robi to byłabym wdzięczna.

\(\displaystyle{ \left( 1-i\right) \cdot \left( \sqrt{3} +i\right)}\)
(Wynik:\(\displaystyle{ 2 \sqrt{2}\left[ cos\left( - \frac{ \pi }{12} \right)+isin\left( - \frac{ \pi }{12} \right) \right]}\)

[jarek4700]

Najpierw przechodzisz na postać trygonometryczną:
\(\displaystyle{ 1-i=\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)=\sqrt{2}(cos\frac{-\pi}{4}+isin\frac{-\pi}{4})}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{3}+i=2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)=2(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6})}\)
Teraz to już prościzna to pomnożyć bo po prostu mnoży się moduły a kąty dodaje.

[sylvuszka]

Dzięuję. a jeszcze jedno pytanie dlaczego "\(\displaystyle{ - \frac{ \pi }{4}}\)", a nie ze znakiem +?

[jarek4700]

Bo wtedy w drugiej liczbie byłoby \(\displaystyle{ 2(cos\frac{\pi}{4}-isin\frac{\pi}{4})}\)
Postać trygonometryczna natomiast to ogólnie \(\displaystyle{ |z|(cos \alpha +isin \alpha )}\)
Żeby zrobić plus korzysta się ze wzoru \(\displaystyle{ sin(- \alpha )=-sin \alpha}\)
Kąty w sinusie i cosinusie muszą być takie same ale na szczęście \(\displaystyle{ cos\alpha =cos(- \alpha )}\) więc w cosinusie po prostu zamienia się na kąt z minusem.

[sylvuszka]

Wszystko rozumiem, ale albo coś źle liczę albo już nie wiem o co chodzi.
\(\displaystyle{ \left( 10-10 \sqrt{3} i \right)\left( 2+2i\right)}\)
Robię w ten sposób:
\(\displaystyle{ \left( 10-10 \sqrt{3} i \right)=20\left( cos \frac{ \pi }{4}+ sin- \frac{ \pi }{6} \right)}\)
\(\displaystyle{ \left( 2+2i\right)= 2 \sqrt{2}\left( cos \frac{ \pi }{4}+ sin- \frac{ \pi }{4} \right)}\)
Powinno wyjść:
\(\displaystyle{ 40 \sqrt{2}\left[ cos\left( - \frac{7 \pi }{12} \right)+sin\left(- \frac{7 \pi }{12} \right) \right]}\)

[MatizMac]

w pierwszym powinien być kąt \(\displaystyle{ \frac{-\pi}{3}}\)
w drugim kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)

musisz pamiętać, że kąty muszą być te same, no i że cos(-x)=cos x, dzieki czemu możesz osiągnąć znak minus między częścią rzeczywistą a urojoną...

ten wynik nie będzie chyba taki, albo pomyliłaś w przykładzie, albo w odpowiedzi...

[sylvuszka]

w drugim nawiasie zamiast znaku\(\displaystyle{ +}\) ma być \(\displaystyle{ -}\). A tak to wszystko jest już ok.