Potęgowanie liczb zespolonych

[jack001]

Obliczyć:
a). \(\displaystyle{ (1+i) ^{n}}\) dla \(\displaystyle{ n=2,3,4,5}\)
b). \(\displaystyle{ (1-i) ^{10}}\)
c). \(\displaystyle{ (1- \sqrt{3}i) ^{12}}\)
d). \(\displaystyle{ (- \sqrt{3}i-i ) ^{8}}\)
e). \(\displaystyle{ \frac{(1-i) ^{n} }{(1+i) ^{n-2} }}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,4}\)

[tometomek91]

a)
\(\displaystyle{ (1+i)^n=(\sqrt{2})^{n}\left(cos\frac{n\pi}{4}+isin\frac{n\pi}{4}\right)}\)
b)
\(\displaystyle{ (1-i)^n=(\sqrt{2})^{n}\left(cos\frac{5n\pi}{4}+isin\frac{5n\pi}{4}\right)}\)
e)
\(\displaystyle{ \frac{(1-i) ^{n} }{(1+i) ^{n-2} }=(1-i) ^{2}\frac{(1-i) ^{n-2} }{(1+i) ^{n-2} }=(1-i) ^{2}\left(\frac{(1-i)}{(1+i)}\right)^{n-2}=(1-i) ^{2}\left(\frac{(1-i)^2}{2}\right)^{n-2}=(1-i) ^{2}\left(\frac{(1-i)^2}{2}\right)^{n-2}=\frac{1}{2^{n-2}} \cdot (1-i)^{2n-3}=\frac{1}{2^{n-2}} \cdot (\sqrt{2})^{2n-3}\left(cos\frac{(2n-3)\pi}{4}+isin\frac{(2n-3)\pi}{4}\right)}\)

[jack001]

Hmm...czy tu naprawdę o to chodzi w tym zadaniu? nie miałem tego przedstawić w postaci trygonometrycznej a obliczyć mam odp do podpunktu a). i kolejno dla n=2,3,4,5 wyniki przedstawiają się następująco 2i, -2-2i, -4 i -4-4i no ale cóż z tego jak nie wiem skąd się to bierze a chciałbym się tego nauczyć proszę o pomoc.

[tometomek91]

Jak chcesz, możesz skorzystać z definicji:
\(\displaystyle{ (1+i)^n=\underbrace{(1+i)(1+i)...(1+i)}_{n\ razy}}\)
np.
\(\displaystyle{ (1+i)^3=-2+2i}\)
i to jest to samo, co
\(\displaystyle{ (\sqrt{2})^{3}\left(cos\frac{3\pi}{4}+isin\frac{3\pi}{4}\right)}\).

[jack001]

Hmm...niestety za słaby jeszcze jestem w te klocki i nie rozumiem i tak skąd wzięło się to -2-2i:(

[tometomek91]

\(\displaystyle{ (1+i)^3=(1+i)(1+i)(1+i)=-2+2i}\)
mnożymy "normalnie" pamiętając o tym, że \(\displaystyle{ i^2=-1}\).

[jack001]

Dzięki!!! Teraz to już wiem! Było tak od razu hehe