Obliczanie potęg i pierwiastków

[zbiq]

Witam.
Nie wiem za bardzo jak zabrać się za te zadanka :

\(\displaystyle{ \left( \frac{1 - z}{j + 4} \right) ^{300}}\)

\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} \cdot z = -( \vec{z} ) ^{3}}\)
"z" ze strzałką to z sprzężone

[Caballero]

2.

I. przypadek - \(\displaystyle{ z=0 \Rightarrow \ 0=0}\)
czyli \(\displaystyle{ z=0}\) spełnia warunki równania.

II. przypadek - \(\displaystyle{ z\neq0}\):

\(\displaystyle{ \left| z\right| ^{2} \cdot z = -( \bar{z} ) ^{3}}\)

korzystając ze wzoru Moivre'a otrzymamy coś takiego:

\(\displaystyle{ r^{2} \cdot r(\cos\psi + i\sin\psi) = - r^{3}(\cos(-3\psi) + i\sin(-3\psi))}\)

\(\displaystyle{ r{3}(\cos\psi + i\sin\psi) = - r^{3}(\cos(-3\psi) + i\sin(-3\psi))}\)

Teraz porównujemy obie strony.

\(\displaystyle{ \begin{cases}r^{3} = -r^{3} \\ \psi = -3\psi + 2k\pi\end{cases} \ \begin{cases}r=0 \Rightarrow z=0 \Rightarrow \ brak \ rozwiazan \ dla \ z\neq0 \\ 4\psi = 2k\pi \end{cases}}\)

[lampa123]

Postać po lewej stronie nie jest postacią trygonometryczną, bo moduł z \(\displaystyle{ r^3}\) musi być dodatni. Należy sprowadzić ją do postaci trygonometrycznej.

Można zacząć tak:

\(\displaystyle{ |z|^2=z \bar{z} \Rightarrow z \cdot z \cdot \bar{z} = -(\bar{z}^3)}\)


ponieważ \(\displaystyle{ z \neq 0}\) więc \(\displaystyle{ \bar{z} \neq 0}\) , zatem możemy podzielić obustronnie przez \(\displaystyle{ \bar{z}}\)


\(\displaystyle{ z^2= -(\bar{z}^2)}\)

Teraz przechodzimy do postaci trygonometrycznej:


\(\displaystyle{ |z|^2(cos 2\psi + i sin 2 \psi) = - |z|^2(cos -2\psi + isin -2 \psi)}\)

Aby zapis po prawej stronie był poprawny należy "włączyc" minus do "środka nawiasu", czyli:

\(\displaystyle{ |z|^2(cos 2\psi + i sin 2 \psi) = |z|^2(cos (\pi -2\psi) + isin (\pi-2 \psi))}\)


Wszystko odbywa się za pomocą wzorów redukcyjnych. Teraz z zasady równości liczb zespolonych należy porównać kąty:

\(\displaystyle{ \pi - 2\psi = 2 \psi \Rightarrow \psi = \frac{\pi}{4}}\)

Ostatecznie: rozwiązaniem układu jest prosta o kącie nachylenia \(\displaystyle{ \psi = \frac{\pi}{4}}\), czyli prosta y=x.



Przepraszam za odnowienie tematu, lecz mam nadzieję , że komuś pomoże to rozwiązanie.

[Dasio11]

lampa123, rozwiązanie jest niepełne. Nieprawdziwa jest implikacja

\(\displaystyle{ |z| \left( \cos \varphi + \mbox i \sin \varphi \right) = |z| \left( \cos \psi + \mbox i \sin \psi \right) \Rightarrow \varphi = \psi}\)

co widać choćby na przykładzie \(\displaystyle{ \varphi = 0, \ \psi= 2 \pi.}\)

Można rozwiązać cztery możliwości:

\(\displaystyle{ 2 \psi = \pi - 2 \psi \vee 2 \psi = 3\pi - 2 \psi \vee 2 \psi = 5 \pi - 2 \psi \vee 2 \psi = 7 \pi - 2 \psi}\)

i z tego są wszystkie rozwiązania (oczywiście na koniec trzeba dołączyć \(\displaystyle{ z=0}\)).


Za równanie można też zabrać się nieco inaczej. Zakładając \(\displaystyle{ z \neq 0,}\) mnożymy obustronnie przez \(\displaystyle{ z^3:}\)

\(\displaystyle{ |z|^2 \cdot z^4 = -|z|^6 \\
z^4 = -|z^4|}\)

Równoważnie, \(\displaystyle{ z^4 \in \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ z^4<0.}\) Stąd jest \(\displaystyle{ \arg z^4 = \pi}\) i pozostaje wypisać cztery możliwości dla \(\displaystyle{ \arg z.}\)

[lampa123]

a skąd się biorą te 4 przypadki ?

[Dasio11]

Stąd, że

\(\displaystyle{ |z| \left( \cos \varphi + \mbox i \sin \varphi \right) = |z| \left( \cos \psi + \mbox i \sin \psi \right) \Leftrightarrow \varphi = \psi + 2k \pi \text{ dla pewnego } k \in \mathbb{Z}}\)

czyli tak właściwie

\(\displaystyle{ 2 \psi = \pi - 2 \psi \ \vee \ 2 \psi = 3 \pi - 2 \psi \ \vee \ 2 \psi = 5 \pi - 2 \psi \ \vee \ 2 \psi = 7 \pi - 2 \psi \ \vee \ 2 \psi = 9 \pi - 2 \psi \ \vee \ 2 \psi = 11 \pi - 2 \psi \ \vee \ \cdots}\)

jednak z tego wychodzą rozwiązania

\(\displaystyle{ \psi = \frac{\pi}{4} \vee \psi = \frac{3 \pi}{4} \vee \psi = \frac{5 \pi}{4} \vee \psi = \frac{7 \pi}{4} \vee \psi = \frac{9 \pi}{4} \vee \psi = \frac{11 \pi}{4} \vee \psi = \frac{13 \pi}{4} \vee \psi = \frac{15 \pi}{4} \vee \cdots}\)

a z nich tożsame są pary

\(\displaystyle{ \frac{9 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{4} \\ \\
\frac{11 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{3 \pi}{4} \equiv \frac{3 \pi}{4} \\ \\
\frac{13 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{5 \pi}{4} \equiv \frac{5 \pi}{4} \\ \\
\frac{15 \pi}{4} = 2 \pi + \frac{7 \pi}{4} \equiv \frac{7 \pi}{4} \\ \\
\frac{17 \pi}{4} = 4 \pi + \frac{\pi}{4} \equiv \frac{\pi}{4} \\ \\
\frac{19 \pi}{4} = 4 \pi + \frac{3 \pi}{4} \equiv \frac{3 \pi}{4} \\ \\
\vdots}\)

ponieważ dają te same liczby zespolone na płaszczyźnie (przy ustalonym module).