Obliczenia modułów liczb

kmateusz · Post autor: **kmateusz** » 24 paź 2010, o 12:59

Witam. Dopiero co zacząłem poznawać liczby zespolone i nie bardzo radze sobie z modułami. Więc jak to wykonać?

\(\displaystyle{ \left( 1+2i\right)\left( 3-4i\right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{4+i}{3+2i}}\)

tutaj należy rozwiązać równania
\(\displaystyle{ 2z+\left( 3-i\right) \vec{z}=5+4i}\)

\(\displaystyle{ z+i= z+i}\) nad tym działaniem po prawej stronie ma być taka długa kreska ale nie umiem jej zrobić w LaTex.
Będę wdzięczny za pomoc bo nie wiem jak to ugryźć. Najlepiej niech ktoś pokaże jak krok po kroku to zrobić jakich wzorów użyć. Pozdrawiam

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 24 paź 2010, o 13:02

Moduł liczby zespolonej \(\displaystyle{ z=a+bi}\) wyraża się wzorem:
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)

Co do równań, taka kreska oznacza liczbę zespoloną sprzężoną, czyli z przeciwnym znakiem jej części urojonej.

kmateusz · Post autor: **kmateusz** » 24 paź 2010, o 13:09

\(\displaystyle{ \left| (1+2i)(3-4i)\right|= \sqrt{(1+2i) ^{2}+(3-4i) ^{2} }= \sqrt{1+4i-4+9-24i+16}}\) dobrze rozumuje?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 24 paź 2010, o 13:20

Nie, przeczytaj dokładnie ten wzór.

kmateusz · Post autor: **kmateusz** » 24 paź 2010, o 13:34

Czyli już wiem jak zrobić to a z tym pietrowym to poprostu \(\displaystyle{ \frac{(4+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}}\) ? a jak dalsze zadania?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 24 paź 2010, o 14:51

Tak, dokładnie. Potem wyznaczasz część rzeczywistą oraz część urojoną i podstawiasz do wzoru.
Jeżeli chodzi o równania, napisz dokładnie czego nie rozumiesz, z czym masz problem.

kmateusz · Post autor: **kmateusz** » 24 paź 2010, o 15:31

nie rozumiem jak obliczyć takie równanie:

\(\displaystyle{ 2z+\left( 3-i\right) \vec{z}=5+4i}\)
oraz takie \(\displaystyle{ z+1= z+i}\) te równanie po lewej całe jest pod kreską na górze

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 24 paź 2010, o 15:40

Tak jak powiedziałem, kreska nad liczbą zespoloną oznacza jej sprzężenie, czyli liczbą sprzężoną do \(\displaystyle{ z=a+bi}\) jest liczba \(\displaystyle{ \vec{z} = a-bi}\).
Zapisz je w postaci algebraicznej i porównaj ze sobą części rzeczywiste oraz urojone.

kmateusz · Post autor: **kmateusz** » 24 paź 2010, o 21:45

A możesz pokazać jak to będzie wyglądać bo nie wiem jak to rozwiązać? a czy w zadaniu \(\displaystyle{ \frac{4+i}{3+2i}}\) wyjdzie \(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{26}}\) ?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 24 paź 2010, o 23:27

\(\displaystyle{ 2(a+bi) + (3-i)(a-bi) = 5+4i}\)
Po lewej stronie wyznacz część rzeczywistą i urojoną powstałej liczby zespolonej, następnie porównaj to z częściami po prawej stronie.
Co do modułu \(\displaystyle{ |z|}\), mi wyszło inaczej - przedstaw rozwiązanie.

kmateusz · Post autor: **kmateusz** » 24 paź 2010, o 23:52

\(\displaystyle{ \frac{(4+i)(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}= \frac{12-8i+3i-2(-1)}{9-6i+6i-4(-1)}= \frac{12-8i+3i+2}{9+4}= \frac{14-5i }{13}}\)

\(\displaystyle{ \frac{14-5i }{13}=0 \setminus 13

14-5i=13 \setminus -14

-5i=13-14

-5i=-1 \setminus (-1)

5i=1 \setminus -1

5i-1

\left| z\right|= -1+5i

\left| z\right|= \sqrt{(-1) ^{2}+5i ^{2} }

\left| z\right|= \sqrt{1+25}

\left| z\right|= \sqrt{26}}\) Tak to zrobiłem, proszę o poprawienie jeśli źle. Pozdrawiam

MatizMac · Post autor: **MatizMac** » 25 paź 2010, o 00:41

\(\displaystyle{ \frac{14-5i }{13}=0 \setminus 13 \\14-5i=13}\)

pomnożyłeś 0*13? O_o

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 paź 2010, o 00:41

\(\displaystyle{ \frac{14-5i }{13}=0}\)

Od kiedy \(\displaystyle{ 0 \cdot 13 = 13}\) ?

Wydziel z tego ułamka część rzeczywistą i urojoną : \(\displaystyle{ Re(z) = \frac{14}{13} , Im(z) = - \frac{5}{13}}\)

kmateusz · Post autor: **kmateusz** » 25 paź 2010, o 16:34

a no faktycznie tu jest błąd. A czy to w ogole tak się liczy?

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 25 paź 2010, o 19:13

Napisałem Ci w poście wcześniej, jak to się liczy, bo teraz nie wiem co masz na myśli pisząc "tak".