Witam. Mam zadanie w ktorym musze narysowac zbior liczb zespolonych dla których liczba u jest rzeczywista, ale ni jak nie mogę uprościć wyrażenia, gdzieś robię jakiś błąd, podchodziłem już może z 7 razy. No wiec do rzeczy:
\(\displaystyle{ u= \frac {z+4} {z-2i}}\)
Proszę o jakąś pomoc w rozpisywaniu, 2-3 linijki. Z góry dzieki
Uprościć wyrażenie
-
jarek4700
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
Uprościć wyrażenie
\(\displaystyle{ z=x+yi}\)
zał. \(\displaystyle{ z \neq 2i}\)
\(\displaystyle{ u=\frac{(x+4)+yi}{x+(y-2)i}=\frac{((x+4)+yi)(x-(y-2)i)}{x^{2}+(y-2)^{2}}}\)
Zgodnie z założeniem mianownik jest niezerowy i jak widać rzeczywisty. Żeby u było rzeczywiste licznik musi być rzeczywisty.
\(\displaystyle{ x(x+4)-(x+4)(y-2)i+xyi+y(y-2)=x^{2}+4x+y^{2}-2y+(xy-xy+2x-4y+8)i}\)
Żeby to było rzeczywiste to \(\displaystyle{ 2x-4y+8=0}\). Rozwiązaniem sa więc liczby leżące na prostej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+2}\). Trzeba tylko wyrzucić z tej prostej punkt (0,2) zgodnie z założeniem.
zał. \(\displaystyle{ z \neq 2i}\)
\(\displaystyle{ u=\frac{(x+4)+yi}{x+(y-2)i}=\frac{((x+4)+yi)(x-(y-2)i)}{x^{2}+(y-2)^{2}}}\)
Zgodnie z założeniem mianownik jest niezerowy i jak widać rzeczywisty. Żeby u było rzeczywiste licznik musi być rzeczywisty.
\(\displaystyle{ x(x+4)-(x+4)(y-2)i+xyi+y(y-2)=x^{2}+4x+y^{2}-2y+(xy-xy+2x-4y+8)i}\)
Żeby to było rzeczywiste to \(\displaystyle{ 2x-4y+8=0}\). Rozwiązaniem sa więc liczby leżące na prostej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{2}x+2}\). Trzeba tylko wyrzucić z tej prostej punkt (0,2) zgodnie z założeniem.