Dziwne wartości funkcji trygonometrycznych

[Mikz]

Przede wszystkim chciałem się przywitać, to mój pierwszy post.

Chciałbym poprosić szanownych Forumowiczów o sprawdzenie obliczeń w zadaniu z którym właśnie walczę. Czy gdzieś popełniłem błąd?
Wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentu liczby zespolonej wyglądają dziwnie. Problemem jest mianownik w sinusie. Gdyby mianownik był dodatni, byłyby to wartości dla kąta o mierze 15'.

\(\displaystyle{ (\frac{i+\sqrt{3}}{i+1})^{50}}\)

Więc zaczynamy od oznaczenia liczby znajdującej się w nawiasie jako Z.

\(\displaystyle{ Z=\frac{i+\sqrt{3}}{i+1}}\)

i jedziemy z obliczeniami

\(\displaystyle{ Z=\frac{i+\sqrt{3}}{i+1}*\frac{i-1}{i-1}=\frac{i^{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}i-i}{i^{2}-1}=\frac{-1-\sqrt{3}+(\sqrt{3}-1)i}{-2}=\frac{-1-\sqrt{3}}{-2}+i(\frac{\sqrt{3}-1}{-2})=\frac{-(1+\sqrt{3})}{-2}+i(\frac{\sqrt{3}-1}{-2})=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+i(\frac{\sqrt{3}-1}{-2})}\)

mamy postać kanoniczną

\(\displaystyle{ Z=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+i(\frac{\sqrt{3}-1}{-2})}\)

teraz wyliczamy |Z|

\(\displaystyle{ |Z| = \sqrt{(\frac{1+\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}-1}{-2})^{2}}=\sqrt{(\frac{1+2\sqrt{3}+3}{4})+(\frac{3-2\sqrt{3}+1}{4})}=\sqrt{\frac{4+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+4}{4}}=\sqrt{\frac{8}{4}}=\sqrt{2}}\)

dobra, teraz wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentu

\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{1+\sqrt{3}}{2}}*\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}}*\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{4}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\\\cos \varphi = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \\
\sin \varphi = \frac{\sqrt{3}-1}{-2}}*\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{-2}}*\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)}{-4}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{-4}} \\
\sin \varphi = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{-4}}}\)

No i tutaj ujawnia nam się minus w mianowniku sinusa. Teraz pytanie czy dokonałem poprawnych obliczeń czy jednak obliczenia są błędne i można podstawić te wartości do tabelki i uzyskać w ten wartość argumentu?

Dalszej części z podnoszeniem do potęgi jeszcze nie ruszyłem ponieważ byłoby to bez sensu, jednak nie jest ona w tej chwili tematem.

Pozdrawiam

[Dasio11]

Dlaczego minus w mianowniku to problem? Skoro \(\displaystyle{ \sin \varphi=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{-4}=-\sin 15^\circ}\), to \(\displaystyle{ \varphi=-15^\circ}\)
A ponieważ \(\displaystyle{ \cos(-15^\circ)=\cos(15^\circ)}\), to tym bardziej ok ;p

P.S. Obliczenia sprawdziłem, poprawne.

[Mikz]

Super! Dzięki za odpowiedź, czyli to nie błąd w obliczeniach tylko moja niewiedza odnośnie tego o czym napisałeś. Muszę widać nadrobić trochę braków bo mi na studiach nie przepuszczą.
Dzięki wielkie jeszcze raz.