cosinus 5x na liczbach zespolonych

[_p_h_p_]

Jak rozpisac wzór na \(\displaystyle{ cos5\alpha}\) korzystając ze wzoru de Moivre'a ??

[Skrzypu]

\(\displaystyle{ (\cos x+i \sin x)^5=\cos 5x + i \sin 5x}\)

Teraz lewą strone podnieś do 5-tej potęgi i wszystkie liczby rzeczywiste po prawej stronie to będzie właśnie wartość na \(\displaystyle{ \cos 5x}\)

Powinno wyjść \(\displaystyle{ \cos 5x=5\cos^5 x-20\cos^3 x+16\cos x}\)

[_p_h_p_]

Jak to po lewej przekształciłes ?? Z dwumianu Newtona ??

Za bardzo nie rozumiem twojego wyprowadzenia. Dlaczego cos5x+isin5x , tzn skad wiesz ze sin5x ??

[spajder]

z wzorów Moivre'a masz \(\displaystyle{ \left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^5=\cos{5x}+i\sin{5x}}\), z dwumianu Newtona:

\(\displaystyle{ \left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^5=\cos^5{x}+i\cos^4{x}\sin{x}+i^2\cos^3{x}\sin^2{x}+i^3\cos^2{x}\sin^3{x}+i^4\cos{x}\sin^4{x}+i^5\sin^5{x}}\)

zapisz prawą stroną w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b}\) będą jakimiś funkcjami sinusa i kosinusa i porównaj częśc urojoną tej liczby z \(\displaystyle{ \sin{5x}}\)

[_p_h_p_]

zapisz prawą stroną w postaci a+bi, gdzie a,b będą jakimiś funkcjami sinusa i kosinusa i porównaj częśc urojoną tej liczby z sin{5x}

Mógłbyś to dalej rozpisac ??

[MGT]

\(\displaystyle{ \left(\cos{x}+i\sin{x}\right)^5=\cos{5x}+i\sin{5x}\\
ft(\cos{x}+i\sin{x}\right)^5=\cos^5{x}+5i\cos^4{x}\sin{x}+10i^2\cos^3{x}\sin^2{x}+10i^3\cos^2{x}\sin^3{x}+5i^4\cos{x}\sin^4{x}+i^5\sin^5{x} =\\\cos^5{x}+5i\cos^4{x}\sin{x}-10\cos^3{x}\sin^2{x}-10i\cos^2{x}\sin^3{x}+5\cos{x}\sin^4{x}+i\sin^5{x}\\
\\
cos5x = cos^{5}x\ -10\ cos^{3}x\ sin^{2}x\ +5\ cosx\ sin^{4}x\\
sin5x = sin^{5}x\ - 10\ cos^{2}x\ sin^{3}x\ +5\ cos^{4}x\ sinx}\)