Postać trygonometryczna i kanoniczna liczb zespolonych

[erko2]

Mam elementarny problem z racji tego, ze nie moglem uczeszczac na pierwsze 2 tygodnie zajec. Probowalem czytac juz ksiazki, co de facto wiele mi dalo (poradzilem sobie z czescia zadan). Jednakze nie mam pojecia jak sie do tego zabrac:

Zapisz następujące liczby w postaci kartezjańskiej:
a)\(\displaystyle{ 6(\cos \frac{\pi}{6} + j\sin \frac{\pi}{6})(\cos \frac{5\pi}{6} + j\sin \frac{5\pi}{6})}\)
b)\(\displaystyle{ 3(\cos 42'+ j\sin 42')(\cos 168' + j\sin 168')}\)

Wyznaczyć postać trygonometryczną następujących liczb:
a) \(\displaystyle{ (5+5j) * \frac{3-j}{2+j}}\)
b) \(\displaystyle{ (\frac{1+j\sqrt{3}}{1+j})^{n}}\)

Obliczyć:
a) \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{100} j^{k}}\)

[Crizz]

Wskazówka do pierwwzego zadania: mnożąc dwie liczby zespolone, dodajemy argumenty i mnożymy moduły, tzn.:
\(\displaystyle{ z_1=|z_1|(cos\alpha_1+isin\alpha_1)\\
z_2=|z_2|(cos\alpha_2+isin\alpha_2\\
z_1z_2=|z_1||z_2|(cos(\alpha_1+\alpha_2)+isin(\alpha_1+\alpha_2))}\)

Ostatnie zadanie: zacznij od skorzystania ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.

[erko2]

Dzieki wielkie. Dzieki tobie udalo mi sie zrobic PRAWIE wszystko co zamierzalem. Jedynie nie wyszedl mi podpunkt a) z zadania 2.

[Crizz]

Wykonaj po prostu podane działania. Zacznij od usunięcia \(\displaystyle{ j}\) z mianownika (pomnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 2-j}\)). Najlepiej pokaż swoje obliczenia. Jak już obliczysz wynik, to wtedy zamień go na postać trygonometryczną.

[jarek4700]

\(\displaystyle{ \frac{(5+5j)(3-j)}{2+j}=\frac{15-5j+15j+5}{2+j}=\frac{10(2+j)}{2+j}=10(cos0+jsin0)}\)