oblicz wartość wyrażenia

[raziel666pl]

\(\displaystyle{ ({\frac{(i+ \sqrt{3})}{(i+1)}})^{50}}\)

[wszamol]

Możesz zrobić na przykład tak: uprość wyrażenie w nawiasie (tzn. pomnóż przez sprzężenie), otrzymaną liczbę zespoloną zapisz w postaci trygonometrycznej, a na końcu skorzystaj ze wzoru de Moivre'a

\(\displaystyle{ (a+bi) ^{n}=|z| ^{n}(cos(n\varphi )+isin(n \varphi ))}\)

[raziel666pl]

Właśnie chodzi o to że nie mogę dojść do lewej strony twojego równania bo potęgować umiem.

[wszamol]

To jedziemy:

\(\displaystyle{ {\frac{(i+ \sqrt{3})}{(i+1)}} \cdot \frac{i-1}{i-1}= \frac{(i+ \sqrt{3})(i-1) }{-2}= \frac{-1-i+ \sqrt{3}i- \sqrt{3} }{-2}= \frac{1+ \sqrt{3} }{2} + \frac{1- \sqrt{3} }{2}i}\)

wynik zamieniamy na postać trygonometryczną, czyli obliczamy moduł itd.

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{\left(\frac{1+ \sqrt{3} }{2}\right) ^{2} + \left(\frac{1- \sqrt{3} }{2}\right) ^{2} }= \sqrt{2}}\)

teraz znajdziemy \(\displaystyle{ \varphi}\)

\(\displaystyle{ cos\varphi= \frac{ \frac{1+ \sqrt{3} }{2}}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4} \Rightarrow \varphi= \frac{ \pi }{12}}\)

analogicznie wyznaczamy z sinusa

\(\displaystyle{ sin\varphi= \frac{ \frac{1- \sqrt{3} }{2}}{ \sqrt{2} }= \frac{- \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4} \Leftrightarrow -sin\varphi= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \Rightarrow -\varphi= \frac{ \pi }{12}}\)

ostatecznie więc mamy

\(\displaystyle{ {\frac{(i+ \sqrt{3})}{(i+1)}}= \sqrt{2} (cos \frac{ \pi }{12}-isin \frac{ \pi }{12} )}\)

pozostaje potęgowanie, ale to już umiesz.

[jarek4700]

Można w tym przypadku robić szybciej.
\(\displaystyle{ \frac{i+\sqrt{3}}{i+1}=\frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)}{\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)}=\sqrt{2}\frac{cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6})}{cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4})}=\sqrt{2}(cos(-\frac{\pi}{12})+isin(-\frac{\pi}{12}))}\)