oblicz wartość wyrażenia
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 3 paź 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wołomin
oblicz wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ ({\frac{(i+ \sqrt{3})}{(i+1)}})^{50}}\)
Ostatnio zmieniony 20 paź 2010, o 23:08 przez tkrass, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
oblicz wartość wyrażenia
Możesz zrobić na przykład tak: uprość wyrażenie w nawiasie (tzn. pomnóż przez sprzężenie), otrzymaną liczbę zespoloną zapisz w postaci trygonometrycznej, a na końcu skorzystaj ze wzoru de Moivre'a
\(\displaystyle{ (a+bi) ^{n}=|z| ^{n}(cos(n\varphi )+isin(n \varphi ))}\)
\(\displaystyle{ (a+bi) ^{n}=|z| ^{n}(cos(n\varphi )+isin(n \varphi ))}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 45
- Rejestracja: 3 paź 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wołomin
oblicz wartość wyrażenia
Właśnie chodzi o to że nie mogę dojść do lewej strony twojego równania bo potęgować umiem.
-
- Użytkownik
- Posty: 490
- Rejestracja: 7 maja 2009, o 22:01
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 64 razy
oblicz wartość wyrażenia
To jedziemy:
\(\displaystyle{ {\frac{(i+ \sqrt{3})}{(i+1)}} \cdot \frac{i-1}{i-1}= \frac{(i+ \sqrt{3})(i-1) }{-2}= \frac{-1-i+ \sqrt{3}i- \sqrt{3} }{-2}= \frac{1+ \sqrt{3} }{2} + \frac{1- \sqrt{3} }{2}i}\)
wynik zamieniamy na postać trygonometryczną, czyli obliczamy moduł itd.
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{\left(\frac{1+ \sqrt{3} }{2}\right) ^{2} + \left(\frac{1- \sqrt{3} }{2}\right) ^{2} }= \sqrt{2}}\)
teraz znajdziemy \(\displaystyle{ \varphi}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi= \frac{ \frac{1+ \sqrt{3} }{2}}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4} \Rightarrow \varphi= \frac{ \pi }{12}}\)
analogicznie wyznaczamy z sinusa
\(\displaystyle{ sin\varphi= \frac{ \frac{1- \sqrt{3} }{2}}{ \sqrt{2} }= \frac{- \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4} \Leftrightarrow -sin\varphi= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \Rightarrow -\varphi= \frac{ \pi }{12}}\)
ostatecznie więc mamy
\(\displaystyle{ {\frac{(i+ \sqrt{3})}{(i+1)}}= \sqrt{2} (cos \frac{ \pi }{12}-isin \frac{ \pi }{12} )}\)
pozostaje potęgowanie, ale to już umiesz.
\(\displaystyle{ {\frac{(i+ \sqrt{3})}{(i+1)}} \cdot \frac{i-1}{i-1}= \frac{(i+ \sqrt{3})(i-1) }{-2}= \frac{-1-i+ \sqrt{3}i- \sqrt{3} }{-2}= \frac{1+ \sqrt{3} }{2} + \frac{1- \sqrt{3} }{2}i}\)
wynik zamieniamy na postać trygonometryczną, czyli obliczamy moduł itd.
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{\left(\frac{1+ \sqrt{3} }{2}\right) ^{2} + \left(\frac{1- \sqrt{3} }{2}\right) ^{2} }= \sqrt{2}}\)
teraz znajdziemy \(\displaystyle{ \varphi}\)
\(\displaystyle{ cos\varphi= \frac{ \frac{1+ \sqrt{3} }{2}}{ \sqrt{2} }= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4} \Rightarrow \varphi= \frac{ \pi }{12}}\)
analogicznie wyznaczamy z sinusa
\(\displaystyle{ sin\varphi= \frac{ \frac{1- \sqrt{3} }{2}}{ \sqrt{2} }= \frac{- \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4} \Leftrightarrow -sin\varphi= \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} \Rightarrow -\varphi= \frac{ \pi }{12}}\)
ostatecznie więc mamy
\(\displaystyle{ {\frac{(i+ \sqrt{3})}{(i+1)}}= \sqrt{2} (cos \frac{ \pi }{12}-isin \frac{ \pi }{12} )}\)
pozostaje potęgowanie, ale to już umiesz.
-
- Użytkownik
- Posty: 939
- Rejestracja: 26 gru 2009, o 17:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Mazowsze
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 228 razy
oblicz wartość wyrażenia
Można w tym przypadku robić szybciej.
\(\displaystyle{ \frac{i+\sqrt{3}}{i+1}=\frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)}{\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)}=\sqrt{2}\frac{cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6})}{cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4})}=\sqrt{2}(cos(-\frac{\pi}{12})+isin(-\frac{\pi}{12}))}\)
\(\displaystyle{ \frac{i+\sqrt{3}}{i+1}=\frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)}{\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)}=\sqrt{2}\frac{cos(\frac{\pi}{6})+isin(\frac{\pi}{6})}{cos(\frac{\pi}{4})+isin(\frac{\pi}{4})}=\sqrt{2}(cos(-\frac{\pi}{12})+isin(-\frac{\pi}{12}))}\)