Pierwiastowanie liczb zespolonych

[nietopereek]

Witam mam problem jak chwycić za zadanie
\(\displaystyle{ z^4=-j}\)
Nie pytam o jakieś gotowe rozwiązania, tylko mógłby ktoś opisać lub podać dobrą stronę z jakimiś przykładami jak rozwiązać tego typu zadania by znaleźć 4 rozwiązania \(\displaystyle{ z{1}, z{2}, z{3}, z{4}}\)
Niby miałem to na zajęciach lecz tak lecą z tematem, mało przykładów, zaległości z technikum i tak jakoś wyszło, że nie umiem sam tego rozwiązać.
2 pytanie, jaką byście polecili dobrą książkę, z dobrze wytłumaczonymi działami i zbiorem zadań?
Dzięki za pomoc.

[szatkus]

Za wikipedią \(\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\varphi + 2k\pi}{n}\right)}\)
Za n podstawiasz 4, za k liczby 0, 1, 2, 3 i wychodzą wyniki. Ten moduł przed nawiasem wynosi 1, więc dowolny jego pierwiastek też wynosi 1.

[nietopereek]

dzięki, liczę inny przykład lecz hmm stoję w tym miejscu
\(\displaystyle{ z_{0}=2(cos \frac{\pi}{24} + isin \frac{\pi}{24})}\)
Jak mogę zsumować to teraz by wyszło coś normalnego bo nie mam żadnego pomysłu?
Czy po prostu zostawić taki wynik.
Czy może po prostu idzie to jakoś narysować już na układzie współrzędnych - to z0

[Crizz]

A co rozumiesz przez "normalne"? Bardziej już tego nie uprościsz.

[MatizMac]

możnaby to "uprościć" poprzez sprowadzenie do postaci kanonicznej a+bi, no ale ciężko ogarnąć ile wynosi ten kąt, więc najlepiej chyba zostawić
A narysować jasne, że idzie: 2 to długość promienia, a kąt pod jakim rysujesz to \(\displaystyle{ \frac{\pi}{24}}\) no i powstaje wektor, który interpretujemy jako tę liczbę zespoloną.

[nietopereek]

Chyba zrobiłem błąd w obliczeniach wcześniej, mam pytanie
jak obliczyć moduł z takiego równania
\(\displaystyle{ z^{4}=8+ 8\sqrt{3}i}\)
Czy zrobić to tak
\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{8+ 8\sqrt{3} }}\) moduł = 16
czy tak
\(\displaystyle{ |z|^{4}= \sqrt{8+8 \sqrt{3} }}\) moduł = 2

[jarek4700]

\(\displaystyle{ z^{4}=16(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=16(cos(\frac{\pi}{3}+2k\pi)+isin(\frac{\pi}{3}+2k\pi))}\)
czyli \(\displaystyle{ z=2(cos(\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2})+isin(\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2})) \Rightarrow |z|=2}\)