Rozwiąż w dziedzinie zespolonej rówanie.

Linkas · Post autor: **Linkas** » 18 paź 2010, o 21:42

Mam równanie :\(\displaystyle{ z ^{4}+(1+i)z ^{2} -i}\)
No to rozwiązuje:
Podstawiam pod \(\displaystyle{ z ^{2} =t}\) i mam \(\displaystyle{ t ^{2}+(1+i)t -i}\)
Liczę delte. która wynosi 2i.
Mam 2 pierwiastki t:
1. \(\displaystyle{ \frac{-1+i+ \sqrt{2i} }{2}}\)
2. \(\displaystyle{ \frac{-1+i- \sqrt{2i} }{2}}\)

Przypominam sobie co oznacza t.
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1+i+ \sqrt{2i} }{2}}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1+i- \sqrt{2i} }{2}}\)
I tu się zacinam bo nie wiem co zrobić z \(\displaystyle{ \sqrt{2i}}\) Z tej postaci liczby zespolonej nie mogę przejść do postaci trygonometrycznej.

osa · Post autor: **osa** » 18 paź 2010, o 22:12

dlaczego? wydaje mi się, że to całkiem nie takie trudne. \(\displaystyle{ 2i=2(cos(\pi/2)+isin(\pi/2)}\)
więc \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(\pi/4)+isin(\pi/4)}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(5\pi/4)+isin(5\pi/4)}\)

zamieniasz z powrotem i masz.

Linkas · Post autor: **Linkas** » 18 paź 2010, o 22:33

tu \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(5\pi/4)+isin(5\pi/4)}\)
i tu \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(\pi/4)+isin(\pi/4)}\)
to ta "2" po prawej stronie równości , tuż za nawiasem to skąd ona się tam wzięła? Skąd mamy 2 cos?

osa · Post autor: **osa** » 18 paź 2010, o 22:37

Linkas pisze:tu \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(5\pi/4)+isin(5\pi/4)}\)
i tu \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(\pi/4)+isin(\pi/4)}\)
to ta "2" po prawej stronie równości , tuż za nawiasem to skąd ona się tam wzięła? Skąd mamy 2 cos?

to mój błąd przy kopiowaniu. oczywiście tam nie ma 2

Linkas · Post autor: **Linkas** » 18 paź 2010, o 22:48

osa pisze:więc \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(\pi/4)+isin(\pi/4)}\) lub \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(5\pi/4)+isin(5\pi/4)}\)

zamieniasz z powrotem i masz.

więc zamieniam \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(\pi/4)+isin(\pi/4)}\) na 1+i
i \(\displaystyle{ \sqrt{2i}=\sqrt{2}(2cos(5\pi/4)+isin(5\pi/4)}\) na -1+i? i to podstawiam tu zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{2i}}\):
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1+i+ \sqrt{2i} }{2}}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1+i- \sqrt{2i} }{2}}\)
?
Pisząc w pierwszym poście, że z tej postaci liczby zespolonej nie mogę przejść do postaci trygonometrycznej. chodziło mi o te postaci:
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1+i+ \sqrt{2i} }{2}}\)
\(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1+i- \sqrt{2i} }{2}}\)
Nie wiem czy się dobrze zrozumieliśmy.

osa · Post autor: **osa** » 18 paź 2010, o 23:46

Ależ tak! po prostu podstaw za \(\displaystyle{ \sqrt{2i}}\) to co powiedziałem i potem przejdź do postaci trygonometrycznej

Linkas · Post autor: **Linkas** » 19 paź 2010, o 10:19

No to zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{2i}}\) muszę podstawić\(\displaystyle{ 1+i}\) lub \(\displaystyle{ -1-i}\), tak?
i mam wtedy 4 przypadki:
dla \(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1+i+ \sqrt{2i} }{2}}\) mam \(\displaystyle{ z ^{2}=i}\) i \(\displaystyle{ z ^{2}=-1}\)

dla \(\displaystyle{ z ^{2} = \frac{-1+i- \sqrt{2i} }{2}}\) mam \(\displaystyle{ z ^{2}=-i}\) i \(\displaystyle{ z ^{2}=-1}\)

Czyli w sumie mam 2 przypadki.
tak?

osa · Post autor: **osa** » 19 paź 2010, o 22:00

ja widzę 3

Linkas · Post autor: **Linkas** » 19 paź 2010, o 22:08

No tak, żle napisałem. tam zamiast -i powinno być i. Więc są 2 przypdaki, że
1. \(\displaystyle{ z ^{2}=i}\)
2. \(\displaystyle{ z ^{2}=-1}\)
Tak?

osa · Post autor: **osa** » 19 paź 2010, o 22:10

powiem szczerze, że ja nie sprawdzam twoich obliczeń. ale o ile są poprawne, to tak