Elementarne zadania z liczb zespolonych

[stuart3]

Cześć.
Byłbym wdzięczny, jeśli ktoś pokazałby mi poprawne rozwiązania zadań:
1. Obliczyć \(\displaystyle{ \sqrt{3 - i \sqrt{27}}}\)
2. Zaznacz na płaszczyźnie zbiór liczby zespolonych spełniających warunek \(\displaystyle{ |5z - 10 + 5i| = 25}\)
3. Rozwiązać równanie: \(\displaystyle{ z^3+z^2+z+1=0}\)
4. Znaleźć pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ 3}\) z liczby \(\displaystyle{ \sqrt{5}-1+i \sqrt{10+2 \sqrt{5} }}\)

I żeby nie było, że oczekuję gotowych rozwiązań, bez własnego wkładu. Chcę po prostu zobaczyć, jak poprawnie w całości takie zadnia rozwiązać. Kilka słów komentarza:

1. Wydaje mi się, że to bardzo proste zadanie, jest chyba kilka sposobów rozwiązania. Pierwszy pomysł miałem taki, żeby podnieść to do kwadratu i później policzyć pierwiastki, drugi, żeby od razu kombinować coś z postacią trygonometryczną. Ale z chęcią zobaczę, jaka jest standardowa metoda rozwiązywania tego typu zadań.

2. Nie za bardzo wiem, jak w ogóle zacząć, myli mnie \(\displaystyle{ z}\) w module, nie wiem, co ma oznaczać (chyba nie jakąś nowa liczbę zespoloną, bo mamy jednocześnie \(\displaystyle{ i}\)?).

3. Wiem (z Zasadniczego twierdzenia algebry), że będą 3 pierwiastki. Jak ich szukać?

4. Zacząłbym od przekształcenia na postać trygonometryczną i wykorzystałbym wzór de Moivre'a, ale nie wygląda to zachęcająco... Może jest jakaś inna metoda?

Będę wdzięczny za pomoc. Poza tym, jestem zainteresowany dobrymi skryptami z różnych uczelni (udostępnianych za darmo), możecie podesłać jakieś linki.

Dzięki z góry,
Michał.

[mufin]

1.

Jest reguła de Moivre'a, i tak to sie chyba robi na całym świecie.

Czyli mniej więcej:

\(\displaystyle{ 6(cos \frac{5\pi + 2k\pi}{3n} + i sin \frac{5\pi + 2k\pi}{3n})}\)

k jest od 0 do n-1

Nie jestem pewien obliczeń, nie jestem orłem w zespolonych ale chyba co najmniej naprowadziłem na właściwy trop.

[stuart3]

OK, wiem w czym rzecz.

Ale jak zrobić resztę zadań? Będę wdzięczny za pomoc.

[macciej91]

2) Zwykło się przez moduł oznaczać odległość między dwoma punktami na osi liczbowej. To samo można przenieść na płaszczyznę zespoloną, myśląc o tym jako "odległości" między dwoma liczbami zespolonymi (np. liczonej ze wzoru Pitagorasa). Przekształcając to równanie do przyjemniejszej postaci \(\displaystyle{ |z-2+i|=5}\), widać, że są to dwie liczby zespolone. Twoim zadaniem jest znalezienie wszystkich z, które spełniają to równanie, czyli takich, których "odległość" od liczby 2-i wynosi 5 (zmiana znaku wynika ze wzoru na odległość między punktami na osi). Wychodzi więc na to, że są to wszyskie liczby \(\displaystyle{ z=a+ib}\), taki dla których a i b spełniają równość \(\displaystyle{ (a-2)^2+(b+1)^2=5^2}\), czyli są to wszystkie punkty na okręgu o środku w (2; -1) i promieniu 5.

[stuart3]

OK, pierwsze 3 jestem w stanie zrobić, męczę się tylko z ostatnim:

Znaleźć pierwiastek stopnia \(\displaystyle{ 3}\) z liczby \(\displaystyle{ \sqrt{5}-1+i \sqrt{10+2 \sqrt{5} }}\)

Czy mam to robić "normalnie", tzn. szukać argumentu (tylko jak znaleźć argument dla \(\displaystyle{ \cos\phi = \frac{\sqrt{5}-1}{4}}\)?) i podstawiać do wzoru de Moivre'a? Zależy mi, żeby ktoś pokazał, jakiś sposób poprawnego rozwiązania tego zadania.

Dzięki z góry.

[Crizz]

\(\displaystyle{ arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)=\frac{2}{5}\pi}\)

[Marcinek665]

3. Jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ z=1}\), a dalej wiadomo.

[stuart3]

3. Jednym z pierwiastków jest \(\displaystyle{ z=1}\), a dalej wiadomo.

Akurat 3. poszło gładko zaraz po tym, jak wysłałem pierwszy post. I nie \(\displaystyle{ z = 1}\), ale \(\displaystyle{ z = -1}\)
\(\displaystyle{ z^3+z^2+z+1=0

z^2(z+1) + (z+1) = 0

(z+1)(z^2+1) = 0}\)
I dalej z górki.

[Marcinek665]

Tak, oczywiście, że \(\displaystyle{ z=-1}\), nie wiem, gdzie mi wcięło minus