Równanie modułów liczb zespolonych

[mufin]

Witam, mam problem z równaniem:

1.
\(\displaystyle{ \left| z - 1\right| = \left| z + 1\right|}\)


Jak trzeba to policzyć ?


________

Zespolone to nieco więcej problemów, więc uaktualniam listę:

2.
\(\displaystyle{ \frac{\left| z-2i\right| }{\left| z+3\right| } < 1}\)
Co teraz z kolei ? Próbowałem podstawić a+bi tylko że sprawa komplikuje się później nad wyraz, próbowałem rozwiązywać a'la funkcja homograficzna ale nic z tego (2 zmienne w końcu)

3.
\(\displaystyle{ \sqrt[6]{-64}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ z^{6} = -64}\)

Co z tym fantem teraz?

Edit:
Ok, troche pobadałem i doszedłem do czegoś więcej, nie omieszkam się tym podzielić ze społecznością matematyków:

\(\displaystyle{ \sqrt[6]{-64} = 2(cos( \frac{\pi + 2k\pi}{6} + i sin( \frac{\pi + 2k\pi}{6})}\)

Tak ?

[kubek1]

\(\displaystyle{ z=a+bi}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ |z-1|=|a-1+bi|= \sqrt{(a-1)^2+b^2}}\)
Podobnie liczysz \(\displaystyle{ |z+1|}\), wstawiasz to do równania i dalej powinno być prosto

[Fortunata]

mi wyszlo ze y=0

[mufin]

Ok, jest punkt zaczepienia także liczę z zapartym tchem, dochodzę do równości

\(\displaystyle{ \sqrt{ (a-1)^{2} + b^{2} } = \sqrt{ (a+1)^{2} + b^{2} }}\)

Czyli można się pozbyć pierwiastka, \(\displaystyle{ b^{2}}\) się skraca i zostaje \(\displaystyle{ (a-1)^{2} = (a+1)^{2}}\)

A to sie spełnia tylko dla a=0.
Czyli wykresem będzie oś urojona, si ?