Argument liczby zespolonej

[dami815]

Witam. Mam pewien problem z obliczeniem argumentu dla liczby : \(\displaystyle{ Z=-2-3i}\)

No więc liczę sobie po kolei:

Moduł: \(\displaystyle{ \left| Z\right|= \sqrt{ -2^{2} + (-3)^{2}}= \sqrt{13}}\)

I dalej, \(\displaystyle{ \begin{cases} cos \varphi = \frac{-2 \sqrt{13} }{13} \\ sin \varphi =\frac{3\sqrt{13} }{13} \end{cases}}\)

Jak wyliczyć fi z takiego układu? Kąt znajduje się w II ćwiartce, więc będzie \(\displaystyle{ \pi - \alpha _{0}}\). No i nie wiem jakie jest \(\displaystyle{ \alpha _{0}}\)

[Inkwizytor]

znajdź przybliżoną wartość i przeszukaj tablice matematyczne z wartościami funkcji trygonometrycznych.

[bum]

Źle wyliczyłem sin i cos.

\(\displaystyle{ sin \partial = \frac{-3}{ \sqrt{13} }

cos \partial = \frac{-2}{ \sqrt{13} }}\)

[Inkwizytor]

wystarczyło tylko znak poprawic przy sinusie co było oczywiste bo z postaci ogólnej Z wynikało że III ćwiartka

[KrawieC]

A jak ogólnie wylicza się fi, jeśli kąt nie wynika jednoznacznie z wykresu? Acha, i czy obliczanie \(\displaystyle{ cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ sin \alpha}\) potrzebne jest do czegoś więcej niż podstawienie do postaci trygonometrycznej?

[Inkwizytor]

A jak ogólnie wylicza się fi, jeśli kąt nie wynika jednoznacznie z wykresu?

Patrz mój pierwszy wpis w tym temacie

Acha, i czy obliczanie \(\displaystyle{ cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ sin \alpha}\) potrzebne jest do czegoś więcej niż podstawienie do postaci trygonometrycznej?

Przede wszystkim do tego. Zwłaszcza gdy potęgujemy lub pierwiastkujemy liczbę zespoloną, to postac trygonometryczna jest wysoce pomocna.

[KrawieC]

OK, ale jeśli korzystam ze wzoru de Moivra? Ćwiczeniowiec rozłożył nam ten wzór na coś takiego:

\(\displaystyle{ w _{0}= \sqrt[n]{r}\left(cos \frac{x}{n}+ \frac{2k \pi }{n}+isin\frac{x}{n}+ \frac{2k \pi }{n}\right)}\)
Czyli wnioskuje, że fi to \(\displaystyle{ \frac{x}{n}}\) a x bierzemy z postaci trygonometrycznej. Czy to ma sens? Bo jak wczoraj robiłem przykłady z tą wersją do wyniki wychodził nadwyraz dziwne(chociaż nie wiem czy złe).

[Inkwizytor]

jeśli wartości sinusa i cosinusa sa "dziwne" to i kąt wychodzi "dziwny"

Polecam jednak najpierw cały licznik wyliczyć (\(\displaystyle{ x+2k \pi}\)) a dopiero potem dzielic przez n. Jedyna rzecz to w indeksie dolnym przy w powinno być k, a nie 0. W tej postaci wzoru jaka została zapisana

[KrawieC]

OK, chodziło mi jedynie o weryfikacje tej wersji.
Dzięki wielkie.

PS. Oczywiście powyższy wzór, nie jest wzorem de Moivra.