Zad. Naszkicować następujące podzbiory zawarte w zbiorze liczb zespolonych:
\(\displaystyle{ D, f(D)}\),gdzie:
\(\displaystyle{ D=\{ z\in C:\quad 0 \le arg z \le \frac{ \pi }{4}\} \\
f(D)=(i+1)z^{3}+1}\)
Chodzi mi o to w jaki sposób rozwiązywać tego typu zadania. Zaznaczenie zbioru D to raczej nic trudnego, patrzymy na postać trygonometryczną liczby zespolonej i zaznaczamy odpowiedni obszar w I ćwiartce (obszar pomiędzy prostą Re, a drugim ramieniem kąta).
Mam wtedy już dziedzinę. Teraz w jaki sposób zaznaczyć f(D)? Przypuszczam, że należy zamienić \(\displaystyle{ z^{3}}\) na postać trygonometryczną, tylko co dalej? Jak zaznaczyć ten obszar, skoro wtedy będziemy mieli zmienne a, b, i? (zakładając\(\displaystyle{ z=a+bi}\))
Z góry dziękuję za pomoc.
jak narysować podzbiory liczb zespolonych
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
jak narysować podzbiory liczb zespolonych
Hmmm...
\(\displaystyle{ i+1=\sqrt{2}\left(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie obrazem \(\displaystyle{ D}\) przez funkcję \(\displaystyle{ h(z)=z^{3}}\). Będzie to po prostu trzy razy większy kąt w układzie współrzędnych.
Kiedy mnożymy dwie liczby zespolone, to mnożymy ich moduły, a argumenty dodajemy. Oznacza to, że obraz zbioru \(\displaystyle{ D}\) przez funkcję \(\displaystyle{ g(z)=(i+1)z^{3}}\) otrzymamy, zwiększając argumenty liczbom ze zbioru \(\displaystyle{ P}\) o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), a ich moduły mnożąc przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) (w praktyce oznacza to obrót opisanego kąta o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)).
Dodanie jedynki to przesunięcie wszystkich liczb zbioru po obrocie o jeden w prawo.
\(\displaystyle{ i+1=\sqrt{2}\left(cos\frac{\pi}{4}+isin\frac{\pi}{4}\right)}\)
Niech \(\displaystyle{ P}\) będzie obrazem \(\displaystyle{ D}\) przez funkcję \(\displaystyle{ h(z)=z^{3}}\). Będzie to po prostu trzy razy większy kąt w układzie współrzędnych.
Kiedy mnożymy dwie liczby zespolone, to mnożymy ich moduły, a argumenty dodajemy. Oznacza to, że obraz zbioru \(\displaystyle{ D}\) przez funkcję \(\displaystyle{ g(z)=(i+1)z^{3}}\) otrzymamy, zwiększając argumenty liczbom ze zbioru \(\displaystyle{ P}\) o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), a ich moduły mnożąc przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) (w praktyce oznacza to obrót opisanego kąta o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\)).
Dodanie jedynki to przesunięcie wszystkich liczb zbioru po obrocie o jeden w prawo.