Równanie dwukwadratowe

[maxLay]

Witam!

Czy mógłby ktoś mi pomóc w dokończeniu zadania:

\(\displaystyle{ z^{4}+\left(1+i\right) z^{2}+i=0}\)

---------------
\(\displaystyle{ t= z^{2}, t \in Z}\)

\(\displaystyle{ t^{2}+\left(1+i\right)t+i}\)

\(\displaystyle{ \Delta=\left(1+i\right)^{2}-4i=\left(i-1\right)^2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=i-1}\)

\(\displaystyle{ t_{1}= \frac{-1-i+i-1}{2}=-1}\)

\(\displaystyle{ t_{2}= \frac{-1-i-i+1}{2}=-i}\)
---------------
\(\displaystyle{ t_{1}= z^{2} \quad z^{2}=-1 \quad z= i^{2}}\)

\(\displaystyle{ z_{1}=i \quad\cup\quad z_{1}=-i}\)
---------------
\(\displaystyle{ t_{2}= z^{2} \quad z^{2}=-i \quad z}=???}\)

Dziękuję za pomoc!

[Crizz]

Wskazówka: \(\displaystyle{ -i=0-i=cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+isin\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\).

[maxLay]

Wskazówka: \(\displaystyle{ -i=0-i=cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+isin\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\).

Obliczyłem, wg wskazówki że:

dla \(\displaystyle{ k=0 \qquad z= -\frac{ \sqrt{2} }{2}+\frac{ \sqrt{2} }{2}i}\)

dla \(\displaystyle{ k=1 \qquad z= -\frac{ \sqrt{2} }{2}-\frac{ \sqrt{2} }{2}i}\)


W książce jest odpowiedź \(\displaystyle{ z= -\frac{ \sqrt{2} }{2}+\frac{ \sqrt{2} }{2}i \qquad oraz \qquad z= \frac{ \sqrt{2} }{2}-\frac{ \sqrt{2} }{2}i}\)

Nie wiem, czy Ja popełniłem błąd w obliczeniach, czy odpowiedź w książce jest błędna ?

[Crizz]

Musiałeś popełnić błąd w obliczeniach, bo mamy równanie postaci \(\displaystyle{ z^{2}=a}\) i nietrudno zgadnąć, że jego rozwiązania są liczbami przeciwnymi.