Podać geometryczną interpretację modułów liczb zespolonych.

[Gord_on]

Panie i Panowie mam drobny problem i liczę na Waszą pomoc. Studia się zaczęły,zaczęły się i liczby zespolone,a w raz z nimi problemy.Zadanie jest z drugich ćwiczeń więc podejrzewam,że nie jest takie trudne wcale.Ale do rzeczy.

Podać geometryczną interpretację modułu różnicy liczb zespolonych.Narysować zbiory punktów na płaszczyźnie zespolonej spełniających równania:


a)\(\displaystyle{ \left| \left( z+i\right) \right| \cdot \left| \left( z^{2}+1 \right) ^{-1} \right| \le 1}\)

b)\(\displaystyle{ \left| \left( z+i\right) \right| + \left| z-i\right| =2}\)


Wiem,że jeśli chodzi o okrąg powinno się to przekształcić do postaci |Z-Zo|=R a dla prostej |Z-Z1|=|Z-Z2| ,ale nie bardzo mam pojęcie jak do tego dojść...Bardzo proszę o pomoc


W przykładzie a) udało mi się dojść do postaci \(\displaystyle{ \left| \frac{1}{z-i} \right| \le 1}\)

Ale co dalej z tym?


A w punkcie b) podniosłem strony do kwadratu,po redukowałem i wyszło mi \(\displaystyle{ z= \sqrt{2}}\) Czyli jak rozumiem rozwiązaniem jest okrąg o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i środku w punkcie (0,0)

[meninio]

ad.a)
1. Podstaw \(\displaystyle{ z=x+iy}\).
2. Pozbądź się ułamka mnożąc licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika.
3. Oblicz moduł.
4. Przenieś 1 na lewą stroną i dostaniesz równanie "jakiejś" krzywej.

[Gord_on]

\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{z-i} \right|=\left| \frac{1}{x+(y-1)i} \right|=\left| \frac{x-(y-1)i}{ x^{2}- (y-1)^{2} } \right|}\)

Do tąd wiem jak zrobić,ale ten moduł jak policzyć? Wiem,że mamy wzór,że moduł z jest równy pierwiastkowi z sumy kwadratów x i y(dla z=x+iy). Ale nie bardzo wiem jak to potem rozpisać i policzyć

[meninio]

Zapisz tą liczbę pod modułem w postaci \(\displaystyle{ z=a+bi}\) i po prostu policz moduł.

[Gord_on]

Wychodzą mi takie kosmiczne liczby,że przepisanie ich tutaj za pomocą LaTeX'a zajęłoby kupę czasu. Zapewne robię coś źle bo to co mi wychodzi nie wygląda,że może prowadzić do jakiegoś wyniku. Może byłbyś tak miły(lub ktoś inny) i rozpisał mi w jaki sposób to zrobić?
Mi wychodzi coś takiego(raczej nie wróży to nic dobrego):
\(\displaystyle{ 3x ^{2} +2y-5 y^{2} \le x^{4} -2 x^{2} y^{2} +4 x^{2}y + y^{4} -4 y^{3}}\)


edit: Da radę coś z tym zrobić? Potrzebuję tego na jutro rano,także zależy mi na czasie.Pomoże ktoś?

[lucas7]

Mam problem z tym zadaniem. Wie ktoś jak to zrobić? Na samym początku, przenosząc mianownik na drugą stronę, obliczam moduł i wychodzi 4 potęga jak wyżej.