\(\displaystyle{ a) z^{6} = (1 - 3i)^{12}}\)
\(\displaystyle{ b) ( z - i)^{4} = (iz + 3 )^{4}}\)
\(\displaystyle{ c) (z + 1)^{6} + z^{6} = 0}\)
Jestem nowicjuszem jeśli chodzi o liczby zespolone , prosiłbym o dokładną pomoc w rozwiązaniu tych zadań bo nie mam pojęcia jak się do nich w ogóle zabrać , proszę oszczędzić sobie odpowiedzi typu " w czym masz problem , przecież to łatwe " , z góry dziękuje
Rozwiąż równanie
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Rozwiąż równanie
a)
\(\displaystyle{ z^{6} - (1 - 3i)^{12}=0 \\
(z^{3}-(1 - 3i)^{6})(z^{3}+(1 - 3i)^{6})=0}\)
Mamy zatem do rozwiązania dwa równania:
\(\displaystyle{ z^{3}-(1 - 3i)^{6}=0}\)
\(\displaystyle{ z^{3}+(1 - 3i)^{6}=0}\)
pierwsze równanie:
Metoda pierwsza:
Mógłbyś próbować przekształcić do postaci trygonometrycznej liczbę \(\displaystyle{ 1-3i}\), podnieść ją do szóstej potęgi, a potem znaleźć wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia. Tu niestety wartość kąta nie wychodzi "ładnie".
Zamiast tego znajdujesz przykładowe rozwiązanie tego równania: skoro \(\displaystyle{ z^{3}=(1 - 3i)^{6}}\), to na pewno \(\displaystyle{ z_{0}=(1-3i)^{2}=-8-6i}\) jest rozwiązaniem równania.
Następnie korzystasz z tego, że tak naprawdę obliczamy pierwiastki trzeciego stopnia z liczby \(\displaystyle{ (1-3i)^{6}}\). Znamy już jeden z nich, a pozostałe mają taki sam moduł (na płaszczyźnie Gaussa lezą na tym samym okręgu o środku w liczbie 0), a wektor wyznaczający jeden z nich wystarczy obrócić o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{6}}\), żeby otrzymać wektor wyznaczający inny z pierwiastków.
Obrócić o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) to znaczy pomnożyć sam pierwiastek przez \(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}}\) (ta liczba ma moduł 1, więc moduł wyniku się nie zmieni, mnożąc natomiast dwie liczby zespolone, dodajemy ich argumenty). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ z_{1}=(-8-6i)\left(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}\right)=(-8-6i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=...}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\left(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}\right)z_{1}}\)
Metoda druga:
\(\displaystyle{ z^{3}-(1 - 3i)^{6}=0}\) przekształcamy dalej:
\(\displaystyle{ (z-(1-3i)^{2})(z^{2}+(1-3i)^{2}z+(1-3i)^{4})=0}\) i znów dostajemy dwa równania.
Z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ z=(1-3i)^{2}=-8-6i}\)
Drugie równanie jest równaniem kwadratowym:
\(\displaystyle{ z^{2}+(1-3i)^{2}z+(1-3i)^{4}=0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}+(-8-6i)z+(28+96i)=0}\) (niestety, czwartą potęgę \(\displaystyle{ 1-3i}\) musimy obliczyć wzorami skróconego mnożenia)
\(\displaystyle{ \Delta=(-8-6i)^{2}-4(28+96i)=-84-288i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-84-288i}=2\sqrt{-21-72i}}\)
Musimy znaleźć pierwiastek z otrzymanej liczby, kąty niestety znów nie wyjdą "ładnie", wobec czego podstawiamy \(\displaystyle{ \sqrt{-21-72i}=x+yi}\)
\(\displaystyle{ -21-72i=(x+yi)^{2}}\)
\(\displaystyle{ -21-72i=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}=-21 \\ 2xy=-72 \end{cases}}\)
Rozwiązujemy ten układ równań i otrzymujemy ostatecznie przykładowy pierwiastek z Delty jako:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=6\sqrt{3}-8\sqrt{3}i}\)
Dalej już sobie poradzisz.
Myślę, że jest w miarę oczywiste, która z tych metod jest prostsza. Spróbuj drugie równanie, tzn. \(\displaystyle{ z^{3}+(1 - 3i)^{6}=0}\), rozwiązać analogicznie-- 16 października 2010, 21:46 --W podpunkcie b przerzuć jedno z wyrażeń na drugą stronę i skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów, tak chyba będzie najszybciej.
\(\displaystyle{ z^{6} - (1 - 3i)^{12}=0 \\
(z^{3}-(1 - 3i)^{6})(z^{3}+(1 - 3i)^{6})=0}\)
Mamy zatem do rozwiązania dwa równania:
\(\displaystyle{ z^{3}-(1 - 3i)^{6}=0}\)
\(\displaystyle{ z^{3}+(1 - 3i)^{6}=0}\)
pierwsze równanie:
Metoda pierwsza:
Mógłbyś próbować przekształcić do postaci trygonometrycznej liczbę \(\displaystyle{ 1-3i}\), podnieść ją do szóstej potęgi, a potem znaleźć wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia. Tu niestety wartość kąta nie wychodzi "ładnie".
Zamiast tego znajdujesz przykładowe rozwiązanie tego równania: skoro \(\displaystyle{ z^{3}=(1 - 3i)^{6}}\), to na pewno \(\displaystyle{ z_{0}=(1-3i)^{2}=-8-6i}\) jest rozwiązaniem równania.
Następnie korzystasz z tego, że tak naprawdę obliczamy pierwiastki trzeciego stopnia z liczby \(\displaystyle{ (1-3i)^{6}}\). Znamy już jeden z nich, a pozostałe mają taki sam moduł (na płaszczyźnie Gaussa lezą na tym samym okręgu o środku w liczbie 0), a wektor wyznaczający jeden z nich wystarczy obrócić o \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{6}}\), żeby otrzymać wektor wyznaczający inny z pierwiastków.
Obrócić o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\) to znaczy pomnożyć sam pierwiastek przez \(\displaystyle{ cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}}\) (ta liczba ma moduł 1, więc moduł wyniku się nie zmieni, mnożąc natomiast dwie liczby zespolone, dodajemy ich argumenty). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ z_{1}=(-8-6i)\left(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}\right)=(-8-6i)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i\right)=...}\)
\(\displaystyle{ z_{2}=\left(cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}\right)z_{1}}\)
Metoda druga:
\(\displaystyle{ z^{3}-(1 - 3i)^{6}=0}\) przekształcamy dalej:
\(\displaystyle{ (z-(1-3i)^{2})(z^{2}+(1-3i)^{2}z+(1-3i)^{4})=0}\) i znów dostajemy dwa równania.
Z pierwszego równania mamy \(\displaystyle{ z=(1-3i)^{2}=-8-6i}\)
Drugie równanie jest równaniem kwadratowym:
\(\displaystyle{ z^{2}+(1-3i)^{2}z+(1-3i)^{4}=0}\)
\(\displaystyle{ z^{2}+(-8-6i)z+(28+96i)=0}\) (niestety, czwartą potęgę \(\displaystyle{ 1-3i}\) musimy obliczyć wzorami skróconego mnożenia)
\(\displaystyle{ \Delta=(-8-6i)^{2}-4(28+96i)=-84-288i}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-84-288i}=2\sqrt{-21-72i}}\)
Musimy znaleźć pierwiastek z otrzymanej liczby, kąty niestety znów nie wyjdą "ładnie", wobec czego podstawiamy \(\displaystyle{ \sqrt{-21-72i}=x+yi}\)
\(\displaystyle{ -21-72i=(x+yi)^{2}}\)
\(\displaystyle{ -21-72i=x^{2}-y^{2}+2xyi}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^{2}-y^{2}=-21 \\ 2xy=-72 \end{cases}}\)
Rozwiązujemy ten układ równań i otrzymujemy ostatecznie przykładowy pierwiastek z Delty jako:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=6\sqrt{3}-8\sqrt{3}i}\)
Dalej już sobie poradzisz.
Myślę, że jest w miarę oczywiste, która z tych metod jest prostsza. Spróbuj drugie równanie, tzn. \(\displaystyle{ z^{3}+(1 - 3i)^{6}=0}\), rozwiązać analogicznie-- 16 października 2010, 21:46 --W podpunkcie b przerzuć jedno z wyrażeń na drugą stronę i skorzystaj ze wzoru na różnicę kwadratów, tak chyba będzie najszybciej.