Dla jakich n liczba jest rzeczywista?

[Heniek1991]

Mam problem z następującym zadaniem:
Niech Z będzie daną liczbą zespoloną. Dla jakich naturalnych n liczba \(\displaystyle{ \left( Z + i*\overline{Z}\right) ^{n}}\) jest rzeczywista.

Doszedłem, że ta liczba jest rzeczywista dla każdego n = 4*k, gdzie k = 1,2,3,... Tylko nie wiem, jak to porządnie udowodnić. Nie da się przecież sprawdzić dla tego dla wszystkich naturalnych n.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ Z = a+bi \\
\overline{Z}=a-bi \\
\left( Z + i*\overline{Z}\right) ^{n}= (a+bi + ai +b)^n = ((a+b)+(a+b))^n \\
k=a+b \\
(k+ki)^n = k^n(1+i)^n}\)
Analizuj \(\displaystyle{ (1+i)^n}\) wzorem Moivre'a. Kiedy sinus w tym wzorze będzie równy 0?