Mam problem z następującym zadaniem:
Niech Z będzie daną liczbą zespoloną. Dla jakich naturalnych n liczba \(\displaystyle{ \left( Z + i*\overline{Z}\right) ^{n}}\) jest rzeczywista.
Doszedłem, że ta liczba jest rzeczywista dla każdego n = 4*k, gdzie k = 1,2,3,... Tylko nie wiem, jak to porządnie udowodnić. Nie da się przecież sprawdzić dla tego dla wszystkich naturalnych n.
Dla jakich n liczba jest rzeczywista?
-
- Użytkownik
- Posty: 111
- Rejestracja: 14 paź 2010, o 16:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lublin / Warszawa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Dla jakich n liczba jest rzeczywista?
\(\displaystyle{ Z = a+bi \\
\overline{Z}=a-bi \\
\left( Z + i*\overline{Z}\right) ^{n}= (a+bi + ai +b)^n = ((a+b)+(a+b))^n \\
k=a+b \\
(k+ki)^n = k^n(1+i)^n}\)
Analizuj \(\displaystyle{ (1+i)^n}\) wzorem Moivre'a. Kiedy sinus w tym wzorze będzie równy 0?
\overline{Z}=a-bi \\
\left( Z + i*\overline{Z}\right) ^{n}= (a+bi + ai +b)^n = ((a+b)+(a+b))^n \\
k=a+b \\
(k+ki)^n = k^n(1+i)^n}\)
Analizuj \(\displaystyle{ (1+i)^n}\) wzorem Moivre'a. Kiedy sinus w tym wzorze będzie równy 0?