Narysuj zbiory liczb zespolonych z

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Dominika1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 28 gru 2009, o 13:15
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Rzeszów

Narysuj zbiory liczb zespolonych z

Post autor: Dominika1992 »

Narysuj zbiory liczb zespolonych z spełniających podane warunki:
a)\(\displaystyle{ Im(z^3)<0}\)
b)\(\displaystyle{ Re(z^4)>0}\)
Ostatnio zmieniony 13 paź 2010, o 21:09 przez Nakahed90, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
silvaran
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1300
Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 123 razy

Narysuj zbiory liczb zespolonych z

Post autor: silvaran »

a) \(\displaystyle{ z=x+i\cdot y\\z^{3}=\left( x+i\cdot y\right) ^{3}}\)
Podnieś do potęgi nawias, zostaw tylko część urojoną i narysuj. Proste
Crizz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Narysuj zbiory liczb zespolonych z

Post autor: Crizz »

Myślę, że prostsze będzie tutaj skorzystanie z postaci trygonometrycznej liczby zespolonej i wzoru de Moivre'a.

Pierwszy przykład: niech \(\displaystyle{ z=|z|(cos\alpha+isin\alpha)}\), wówczas:
\(\displaystyle{ Im(z^{3})=Im\left(|z|^{3}(cos3\alpha+isin3\alpha)\right)=|z|^{3} \cdot sin3\alpha}\)

Nierówność przybiera postać \(\displaystyle{ sin3\alpha>0}\). Wystarczy znaleźć zbiór rozwiązań tej nierówności w przedziale \(\displaystyle{ <0,2\pi)}\) (lub \(\displaystyle{ <-\pi,\pi)}\) - na jedno wychodzi) i zaznaczyć na płaszczyźnie Gaussa liczby, których argumenty spełniają podaną nierówność.

Analogicznie można rozwiązać drugi podpunkt.
ODPOWIEDZ