Przedstaw w postaci tryg. liczbę zespoloną

[bajcc]

Przedstaw w postaci tryg. liczbę zespoloną

\(\displaystyle{ z= -\frac{1}{2}- \frac{ \sqrt{3}}{2}i}\)

Więc liczymy moduł liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{ \frac{1}{4}+ \frac{3}{4} }=1}\)

i
\(\displaystyle{ cos \alpha =- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \alpha = -\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

i na tym moja wiedza się kończy bo wchodzi kąt 240 a ja nie wiem skąd to się bierze a cała postać wygląda tak \(\displaystyle{ \left| z\right|(cos \frac{4}{3} \pi +isin \frac{4}{3} \pi)}\)

[makan]

Sinus i cosinus masz ujemny, więc kąt, którego szukasz jest z ćwiartki III, czyli (na podstawie wzorów redukcyjnych): \(\displaystyle{ \alpha = \pi + \frac{\pi}{3}}\)

[bajcc]

a konkretnie z jakich wzorów redukcyjnych bo niestety nadal nie widzę analogii ;/

chyba już mam:
\(\displaystyle{ sin(180+60)=-sin60}\) czyli \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i
\(\displaystyle{ cos(180+60)=-cos60}\) czyli \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ sin(270-60)=-cos60}\) czyli \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ cos(270-60)=-sin60}\) czyli \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)

dobrze rozumuje?

pytanie czy da się szybciej?

[makan]

a konkretnie z jakich wzorów redukcyjnych bo niestety nadal nie widzę analogii ;/

chyba już mam:
\(\displaystyle{ sin(180+60)=-sin60}\) czyli \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
i
\(\displaystyle{ cos(180+60)=-cos60}\) czyli \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)
lub
\(\displaystyle{ sin(270-60)=-cos60}\) czyli \(\displaystyle{ - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ cos(270-60)=-sin60}\) czyli \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\)

dobrze rozumuje?

Dokładnie o to chodzi.

pytanie czy da się szybciej?

To zależy, jeśli np. masz liczbę rzeczywistą lub urojoną do zamiany na postać trygonometryczną, to bardzo łatwo znaleźć moduł i argument, leżą one bowiem na osiach. Można też zamiast korzystać z sinusa i cosinusa korzystać z tangensa argumentu, tylko wtedy trzeba uważać na to w której ćwiartce masz liczbę zespoloną.

[bajcc]

a coś takiego:

a) \(\displaystyle{ 1+cos \alpha +sin \alpha , - \pi \le \alpha \le \pi}\)

moduł wyszedł mi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ale co z tym dalej

b) \(\displaystyle{ \frac{1+tg \alpha }{1-tg \alpha }, 0 \le \alpha < \frac{ \pi }{2}}\)

c) \(\displaystyle{ 1- \frac{ \sqrt{3}-i }{2}}\)

a z tym to nie mam pojęcia co zrobić..