Dowód z potęgą liczby zespolonej i jej sprzężeniem

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
AnimalHuman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myszków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 6 razy

Dowód z potęgą liczby zespolonej i jej sprzężeniem

Post autor: AnimalHuman »

Wykazać, że suma wszystkich rozwiązań równania \(\displaystyle{ z^{17}=\overline{z}}\) jest równa 0.

Przydałaby mi się jakaś wskazówka, czy może jakaś własność której mógłbym tu użyć
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Dowód z potęgą liczby zespolonej i jej sprzężeniem

Post autor: »

Oczywiście jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ z=0}\). Znajdźmy sumę pozostałych. Nietrudno zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest rozwiązaniem, to \(\displaystyle{ |z|=1}\). Jeśli więc przemnożymy równanie stronami przez \(\displaystyle{ z}\), to otrzymamy równoważnie: \(\displaystyle{ z^{18}=1}\). Wykazanie, że suma rozwiązań tego równania jest równa zero nie jest już trudne - można skorzystać np. z wzorów Viete'a lub z interpretacji geometrycznej.

Q.
AnimalHuman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Myszków
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 6 razy

Dowód z potęgą liczby zespolonej i jej sprzężeniem

Post autor: AnimalHuman »

Dziękuję za pomoc, udało się udowodnić
Temat do zamknięcia
ODPOWIEDZ