Wykazać, że suma wszystkich rozwiązań równania \(\displaystyle{ z^{17}=\overline{z}}\) jest równa 0.
Przydałaby mi się jakaś wskazówka, czy może jakaś własność której mógłbym tu użyć
Dowód z potęgą liczby zespolonej i jej sprzężeniem
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Myszków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 6 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Dowód z potęgą liczby zespolonej i jej sprzężeniem
Oczywiście jednym z rozwiązań jest \(\displaystyle{ z=0}\). Znajdźmy sumę pozostałych. Nietrudno zauważyć, że jeśli \(\displaystyle{ z}\) jest rozwiązaniem, to \(\displaystyle{ |z|=1}\). Jeśli więc przemnożymy równanie stronami przez \(\displaystyle{ z}\), to otrzymamy równoważnie: \(\displaystyle{ z^{18}=1}\). Wykazanie, że suma rozwiązań tego równania jest równa zero nie jest już trudne - można skorzystać np. z wzorów Viete'a lub z interpretacji geometrycznej.
Q.
Q.
-
- Użytkownik
- Posty: 21
- Rejestracja: 4 kwie 2010, o 22:00
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Myszków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 6 razy
Dowód z potęgą liczby zespolonej i jej sprzężeniem
Dziękuję za pomoc, udało się udowodnić
Temat do zamknięcia
Temat do zamknięcia