Wzór de Moivre'a na sumę

[kluczyk]

Korzytając ze wzoru de Moivre'a wykazać, że:
\(\displaystyle{ sinx+sin2x+...+sinnx= \frac{sin \frac{(n+1)x}{2} \cdot sin \frac{n \cdot x}{2} }{sin \frac{x}{2} }}\)

[Fingon]

Ja zacząłem od tego, że wziąłem sobie \(\displaystyle{ z}\), takie, że \(\displaystyle{ |z| = 1}\), a następnie zsumowałem \(\displaystyle{ z + z^2 + ... + z^n = z \frac{z^n -1}{z-1}}\). Niestety utknąłem na przekształceniach tożsamości trygonometrycznych. Może Tobie pójdzie lepiej.

[Yaco_89]

Fingon kombinujesz w dobrym kierunku, tylko w przytoczonym przez Ciebie wyrażeniu na sumę postępu geometrycznego wystarczy przyrównać same części urojone (bo to one nas interesują). No a potem chyba faktycznie trzeba troszkę się pobawić elementarną trygonometrią, ale pamiętam że jak byłem na I-szym roku udało mi się takie zadanie doprowadzić do końca (a ciężko o większą nogę z rachunków niż ja)

[Crizz]

Można to zrobić mniej więcej tak: 190279.htm (może być błąd przy indeksach, bo jak widać - w wyniku powinno się wstawić wszędzie \(\displaystyle{ n+1}\) za \(\displaystyle{ n}\), żeby dostać to, co tutaj - ale chodzi o same przekształcenia trygonometryczne).