sin(z)=2 - nieskończenie wiele rozwiązań

[Ciamolek]

Witam,

Jak w temacie...
Należy pokrótce wyjaśnić, dlaczego \(\displaystyle{ sin(z)=2}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (gdzie oczywiście z jest liczbą zespoloną).

Nie chodzi o formalny dowód (coś takiego sam wytworzyłem, uzyskując
\(\displaystyle{ sin(z)= sin(x)cosh(y) - i cos(x)sinh(y)}\) ),
a raczej o jakieś krótkie słowne uzasadnienie, dlaczego tak po prostu musi być...

[Crizz]

A nie możesz po prostu (zacząć) rozwiązywać tego równania?

Wiemy, ze \(\displaystyle{ cosz=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\).

Równanie przybiera postać \(\displaystyle{ e^{iz}+e^{-iz}=4}\); podstawiamy \(\displaystyle{ t=e^{iz}}\) i mamy:
\(\displaystyle{ t+\frac{1}{t}=4 \\
...\\
e^{iz}=2 \pm \sqrt{3}}\)
i widzimy już, że liczba \(\displaystyle{ e^{iz}}\) jest rzeczywista, jeśli więc podstawimy \(\displaystyle{ z=x+yi}\), otrzymujemy
\(\displaystyle{ \begin{cases}e^{-y}cosx=2 \pm \sqrt{3} \\ sinx=0 \end{cases}}\)
Skoro \(\displaystyle{ sinx=0}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań (musi być \(\displaystyle{ cosx>0}\), czyli \(\displaystyle{ cosx=1 \Rightarrow x=2k\pi,k\in Z}\)), to liczb \(\displaystyle{ z}\) też jest nieskończenie wiele.

[Ciamolek]

Crizz, dzięki. W sumie rozwiązałem całe, ale myślałem, że może da się zauważyć - jakoby z definicji - że rozwiązań musi być nieskończenie wiele.

Pozdrawiam,
Ciamolek