Tok rozumowania przy wzorze moivera

[wraq]

Taki przykład :
\(\displaystyle{ z=1-i}\)

\(\displaystyle{ z^{2010}=\left[ \sqrt{2}\left( cos(- \frac{ \pi }{4})+i*sin(- \frac{ \pi }{4})\right) \right]^{2010}}\)

\(\displaystyle{ z^{2010}=\left[ 2^{1005}\left( cos(2010*(- \frac{ \pi}{4}))+i*sin(2010(- \frac{ \pi }{4}))\right) \right]^{2010}}\)

\(\displaystyle{ z^{2010}=\left[ 2^{1005}\left( cos(502 \pi + \frac{ \pi}{2})+i*sin(502 \pi + \frac{ \pi }{2})\right) \right]^{2010}}\)

\(\displaystyle{ z^{2010}=2^{1005}(cos \frac{ \pi }{2} -i*sin \frac{ \pi }{2}}\)

\(\displaystyle{ z^{2010}=-2 ^{1005}i}\)

Skąd miara wartości kąta? Jak ją obliczyć? ( *czy z tej zależności którą podałem niżej?)
W 3 linijce zgubiłem wątek i nie wiem dlaczego wartość funkcji trygonomentrycznych zmieniła się z \(\displaystyle{ 2010*(- \frac{ \pi }{4} )}\) na \(\displaystyle{ 502 \pi + \frac{ \pi }{2}}\) (liczby skrócone, ale co z minusem i liczbą pi?)
A w 4 linijce zostaje już samo \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) Dlaczego 502 zostaje pominięte?

Analogiczny przykład który robiłem samodzielnie

\(\displaystyle{ z=1+2i}\)

Przyjąłem:

\(\displaystyle{ r= \sqrt{5}}\)

*\(\displaystyle{ sin \alpha = \frac{b}{r}}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{a}{r}}\)

\(\displaystyle{ z^{4}= \sqrt{5}\left( cos \frac{4}{ \sqrt{5} } +i*sin \frac{8}{ \sqrt{5} }\right)}\)

Co dalej z tym zrobić?

[Inkwizytor]

Skąd miara wartości kąta? Jak ją obliczyć? ( *czy z tej zależności którą podałem niżej?)

TAK

-- 9 paź 2010, o 15:12 --

W 3 linijce zgubiłem wątek i nie wiem dlaczego wartość funkcji trygonomentrycznych zmieniła się z \(\displaystyle{ 2010*(- \frac{ \pi }{4} )}\) na \(\displaystyle{ 502 \pi + \frac{ \pi }{2}}\) (liczby skrócone, ale co z minusem i liczbą pi?)

Wzór de Moivre'a na potęgowanie liczb zespolonych za pomocą postaci trygonometrycznej

A w 4 linijce zostaje już samo \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) Dlaczego 502 zostaje pominięte?

Wzory redukcyjne + właściwosci funkcji trygonometrycznych ze szczególnym uwzględnieniem okresowości (całkowita wielokrotność \(\displaystyle{ 2 \pi}\))

[Crizz]

Taki przykład :
\(\displaystyle{ z=1-i}\)
(...)
Skąd miara wartości kąta? Jak ją obliczyć?

Moduł: \(\displaystyle{ |z|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}}\)
Wyciągamy moduł przed nawias: \(\displaystyle{ z=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} i \right)}\)
Wartości w nawiasie powinny Ci się kojarzyć z kątem \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), jednak sinus szukanego kąta jest ujemny. Wiemy za to, że \(\displaystyle{ sin(-x)=-sinx,cos(-x)=cosx}\), czyli pasuje nam tu kąt \(\displaystyle{ -\frac{\pi}{4}}\).

W 3 linijce zgubiłem wątek i nie wiem dlaczego wartość funkcji trygonomentrycznych zmieniła się z \(\displaystyle{ 2010*(- \frac{ \pi }{4} )}\) na \(\displaystyle{ 502 \pi + \frac{ \pi }{2}}\) (liczby skrócone, ale co z minusem i liczbą pi?)

Tu rzeczywiście powinien być minus przed całością kąta (i dalej w obliczeniach widać, że było to uwzględnione, może zjadłeś te minusy przy przepisywaniu).

A w 4 linijce zostaje już samo \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) Dlaczego 502 zostaje pominięte?

Czyli tak: powinno wcześniej być \(\displaystyle{ -502 \pi - \frac{ \pi }{2}}\). \(\displaystyle{ -502\pi=-251 \cdot 2\pi}\), a \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest okresem i sinusa, i cosinusa. Dlatego \(\displaystyle{ sin\left(-502 \pi - \frac{ \pi }{2}\right)=sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-sin\frac{\pi}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ cos\left(-502 \pi - \frac{ \pi }{2}\right)=cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)=cos\frac{\pi}{2}}\).

Co do drugiego przykładu - nie wyjdą tu "ładne kąty", a potęga jest niska, najlepiej działaj na postaci algebraicznej (podnieś dwa razy do kwadratu i gotowe). Jak chcesz, możesz zapisać obliczenia, sprawdzimy.

[wraq]

Pomijając znaki, które źle napisałem, niech mi ktoś łopatologicznie objaśni jak dokonała się zamiana
\(\displaystyle{ cos(2010*(-\frac{ \pi }{4} ))}\) na \(\displaystyle{ cos(502 \pi + \frac{ \pi }{2})}\)

[Crizz]

No przecież \(\displaystyle{ \frac{2010}{4}=502\frac{1}{2}}\), po prostu wykonano działanie mnożenia.