Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
p4wcio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 8 paź 2010, o 21:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Bydgoszcz

Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej

Post autor: p4wcio »

Mam problem z dowodem takiej własności:
\(\displaystyle{ arg(z^{-1})=2\pi-arg(z)}\)
gdzie z jest oczywiście liczbą zespoloną postaci
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
Wyszedłem od tego, że argument liczby \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ z^{-1}}\)wynosi:
\(\displaystyle{ \phi_{z}=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{z^{-1}}=\arctan\left(\frac{\frac{-b}{a^2+b^2}}{\frac{a}{a^2+b^2}}\right)=\arctan\left(\frac{-b}{a}\right)}\)

Funkcja \(\displaystyle{ \arctan}\) jest symetryczna względem punktu (0,0), więc:
\(\displaystyle{ \phi_{z^{-1}}=-\arctan\frac{b}{a}}\)
Czyli w gruncie rzeczy \(\displaystyle{ \phi_{z}=-\phi_{z^{-1}}}\)

Nie mam pomysłu na uwzględnienie tego \(\displaystyle{ 2\pi}\)
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej

Post autor: pyzol »

Proponuje postaco trygonometryczna i wzor de...
\(\displaystyle{ r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha )r_2(\cos\beta+i \sin\beta)=r_1 r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))}\)
ps.
\(\displaystyle{ 1=\cos 0+i \sin 0}\)
p4wcio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 8 paź 2010, o 21:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Bydgoszcz

Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej

Post autor: p4wcio »

Chodziło mi bardziej o uwzględnienie przeciwdziedziny funkcji arctan.
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej

Post autor: pyzol »

No to sie baw, z tego co napisalem wychodzi, ze:
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=0}\)
przechodzenie na arcusy wydaje mi sie bardziej skomplikowane.
ODPOWIEDZ