Mam problem z dowodem takiej własności:
\(\displaystyle{ arg(z^{-1})=2\pi-arg(z)}\)
gdzie z jest oczywiście liczbą zespoloną postaci
\(\displaystyle{ z=|z|(\cos\phi+i\sin\phi)}\)
Wyszedłem od tego, że argument liczby \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ z^{-1}}\)wynosi:
\(\displaystyle{ \phi_{z}=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)}\)
\(\displaystyle{ \phi_{z^{-1}}=\arctan\left(\frac{\frac{-b}{a^2+b^2}}{\frac{a}{a^2+b^2}}\right)=\arctan\left(\frac{-b}{a}\right)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ \arctan}\) jest symetryczna względem punktu (0,0), więc:
\(\displaystyle{ \phi_{z^{-1}}=-\arctan\frac{b}{a}}\)
Czyli w gruncie rzeczy \(\displaystyle{ \phi_{z}=-\phi_{z^{-1}}}\)
Nie mam pomysłu na uwzględnienie tego \(\displaystyle{ 2\pi}\)
Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej
Proponuje postaco trygonometryczna i wzor de...
\(\displaystyle{ r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha )r_2(\cos\beta+i \sin\beta)=r_1 r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))}\)
ps.
\(\displaystyle{ 1=\cos 0+i \sin 0}\)
\(\displaystyle{ r_1(\cos\alpha+i\sin\alpha )r_2(\cos\beta+i \sin\beta)=r_1 r_2(\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta))}\)
ps.
\(\displaystyle{ 1=\cos 0+i \sin 0}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 8 paź 2010, o 21:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Bydgoszcz
Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej
Chodziło mi bardziej o uwzględnienie przeciwdziedziny funkcji arctan.
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Własność argumentu liczby zespolonej i odwrotnej do niej
No to sie baw, z tego co napisalem wychodzi, ze:
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=0}\)
przechodzenie na arcusy wydaje mi sie bardziej skomplikowane.
\(\displaystyle{ \alpha+\beta=0}\)
przechodzenie na arcusy wydaje mi sie bardziej skomplikowane.