Potęga liczby zespolonej

[leon600]

Też mam mały problem z potęgowaniem, może ktoś poradzić?
Otóż mam obliczyć:
\(\displaystyle{ (1+ \frac{1+ \sqrt{3}i }{2}) ^{26}}\)

[pyzol]

najpierw postac trygonometryczna.

[leon600]

A wcześniej mam/mogę zrobić tak, że tą 1 dodam do drugiej 1?
Tzn. \(\displaystyle{ ( \frac{2}{2} + \frac{1+ \sqrt{3}i }{2}) ^{26} = (\frac{3+ \sqrt{3}i }{2}) ^{26}}\)
Wiem, że może braki wyjdą, ale już się zaczynam mieszać w tym...

[cosinus90]

Tak, możesz. Teraz wyznacz część rzeczywistą i urojoną tej liczby, a następnie przejdź na postać trygonometryczną liczby zespolonej, tak jak mówił pyzol.

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ ... = (\frac{3+ \sqrt{3}i }{2}) ^{26}}\)

A nawet zeby było jeszcze łatwiej: \(\displaystyle{ \left( \frac{ \sqrt{3} }{2} \right)^{26} \cdot ( \sqrt{3} + i) ^{26}}\)

[leon600]

Zrobiłem to w postaci trygonometrycznej... będzie to tak?
\(\displaystyle{ (\frac{3+ \sqrt{3}i }{2}) ^{26} = (\frac{2 \sqrt{3} (cos \frac{ \pi }{6} + isin \frac{ \pi }{6}) }{2}) ^{26} = 3 ^{13} (cos \frac{26 \pi }{6}+isin \frac{26 \pi }{6})=3 ^{13} (cos \frac{13 \pi }{3}+isin \frac{13 \pi }{3})}\)

[Inkwizytor]

teraz wzory redukcyjne wraz z cechą okresowości funkcji tryg.

[leon600]

teraz wzory redukcyjne wraz z cechą okresowości funkcji tryg.

Hmm mógłbyś trochę rozjaśnić?

[Inkwizytor]

\(\displaystyle{ sin (\alpha +2k \pi) =...}\)

[leon600]

A za k mam podstawić... ? n-1? Czyli te 26-1, k=25 ?

[Inkwizytor]

k to dowolna liczba całkowita. Chodziło mi o zasygnalizowanie pewnego ważnego wzoru związanego z okresowością funkcji trygonometrycznych. (podpowiem że to pierwsze wzory z trygonometrii jakie pojawiaja się w szkole w tym temacie -poza definicyjnymi)-- 9 paź 2010, o 19:38 --\(\displaystyle{ sin \frac{26 \pi}{6} = sin \frac{13 \pi}{3} sin (\frac{12 \pi}{3}+\frac{\pi}{3})=...}\) tu zastosuj wzór. Z cosinusem analogicznie