Cześć,
Mam udowodnić taką równość:
\(\displaystyle{ |z^{n}| = |z|^{n}}\)
I nie wiem jak do tego podejść zabardzo.
\(\displaystyle{ z^{n} = |z^{n}|(cos(n\phi) + sin(n\phi)\cdot i)}\)
Jakoś to dalej pociągnąć czy jak inaczej jeszcze?
Moduł z potęgi liczby zespolonej - dowód.
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
Moduł z potęgi liczby zespolonej - dowód.
Odkopuję.
Również mam problem z dowodem owego faktu. Nie udało mi się drogą przekształceń oraz przez postać trygonometryczną i w akcje desperacji zapisałem sobie po prostu \(\displaystyle{ z=x+yi, \ x, y \in \mathbb{R}}\) i wówczas równoważnie będę miał do udowodnienia:
\(\displaystyle{ | (x+y i)^n | = |x+y i |^n}\)
I widzę tu jedynie rozpisanie lewej strony z dwumianu Newtona, a prawą... można zapisać \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^{\frac{n}{2}}}\)
Wskazówki mile widziane
Również mam problem z dowodem owego faktu. Nie udało mi się drogą przekształceń oraz przez postać trygonometryczną i w akcje desperacji zapisałem sobie po prostu \(\displaystyle{ z=x+yi, \ x, y \in \mathbb{R}}\) i wówczas równoważnie będę miał do udowodnienia:
\(\displaystyle{ | (x+y i)^n | = |x+y i |^n}\)
I widzę tu jedynie rozpisanie lewej strony z dwumianu Newtona, a prawą... można zapisać \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^{\frac{n}{2}}}\)
Wskazówki mile widziane
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Moduł z potęgi liczby zespolonej - dowód.
Udowodnij sobie na boku, że \(\displaystyle{ |z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}|\cdot |z_{2}|}\) i potem zastosuj indukcję.
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 30 gru 2014, o 02:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
Moduł z potęgi liczby zespolonej - dowód.
Korzystając z własności \(\displaystyle{ |z|^{2} = z \cdot \overline{z}}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ |z^{n}| ^{2} = z ^{n} \cdot \overline{z} ^{n} = (z \cdot \overline{z}) ^{n} = |z| ^{2n}}\)
Pierwiastkując obustronnie otrzymamy żądaną równość.
\(\displaystyle{ |z^{n}| ^{2} = z ^{n} \cdot \overline{z} ^{n} = (z \cdot \overline{z}) ^{n} = |z| ^{2n}}\)
Pierwiastkując obustronnie otrzymamy żądaną równość.