Moduł z potęgi liczby zespolonej - dowód.

[apacz]

Cześć,
Mam udowodnić taką równość:
\(\displaystyle{ |z^{n}| = |z|^{n}}\)
I nie wiem jak do tego podejść zabardzo.
\(\displaystyle{ z^{n} = |z^{n}|(cos(n\phi) + sin(n\phi)\cdot i)}\)
Jakoś to dalej pociągnąć czy jak inaczej jeszcze?

[patry93]

Odkopuję.
Również mam problem z dowodem owego faktu. Nie udało mi się drogą przekształceń oraz przez postać trygonometryczną i w akcje desperacji zapisałem sobie po prostu \(\displaystyle{ z=x+yi, \ x, y \in \mathbb{R}}\) i wówczas równoważnie będę miał do udowodnienia:
\(\displaystyle{ | (x+y i)^n | = |x+y i |^n}\)
I widzę tu jedynie rozpisanie lewej strony z dwumianu Newtona, a prawą... można zapisać \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^{\frac{n}{2}}}\)
Wskazówki mile widziane

[Wasilewski]

Udowodnij sobie na boku, że \(\displaystyle{ |z_{1} \cdot z_{2}| = |z_{1}|\cdot |z_{2}|}\) i potem zastosuj indukcję.

[MateMacias]

Korzystając z własności \(\displaystyle{ |z|^{2} = z \cdot \overline{z}}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ |z^{n}| ^{2} = z ^{n} \cdot \overline{z} ^{n} = (z \cdot \overline{z}) ^{n} = |z| ^{2n}}\)
Pierwiastkując obustronnie otrzymamy żądaną równość.