Podstawy liczb zespolonych
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 4 sty 2007, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Podstawy liczb zespolonych
Witam
Właśnie zaczęliśmy liczby zespolone, dostaliśmy kilka zadań do wykonania. Jeśli ktoś byłby w stanie podać jedynie wyniki, byłbym bardzo wdzięczny. Oczywiście jeśli ktoś ma ochotę pokazać sposób rozwiązywania, również będzie fajnie, na pewno ułatwi mi to dalszą naukę. Nie dostaliśmy odpowiedzi, a chciałbym wiedzieć czy robię dobrze, czy muszę się jeszcze douczyć. Za każdy odzew z góry dziękuje.
1. Znajdź część rzeczywistą i urojoną liczny zespolonej
a) \(\displaystyle{ \frac{\overline{(7i+1)(3-i)}}{i^{14} (2i+2)}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{4i(1-16i)-(1+i)^{3}}{(i+2)(2i+1)}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{2i- \frac{1}{2} }{i+1}}\)
d) \(\displaystyle{ ( \sqrt{3} -7i)(3+4i)}\)
2. Znajdź postać trygono liczby zespolonej.
a) \(\displaystyle{ -2 \frac{\overline{(1+i)}(2-i)+3i}{i+ \sqrt{3} }}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{6- \sqrt{3}+3i }{3+ \sqrt{3}i } -i}\)
c) \(\displaystyle{ sin\alpha+i(1-cos \alpha)}\)
I tutaj jeszcze jedno zadanie, którego jeszcze nie miałem na wykładzie:
3. Wyraź za pomocą \(\displaystyle{ cos(x)}\) i \(\displaystyle{ sin(x)}\) następujące wyrażenia
a) \(\displaystyle{ sin(3x)}\)
b) \(\displaystyle{ tan(4x)}\)
c) \(\displaystyle{ ctg(3x)}\)
Przy tym zadaniu prosiłbym o wytłumaczenie rozwiązania.
Pozdrawiam
Właśnie zaczęliśmy liczby zespolone, dostaliśmy kilka zadań do wykonania. Jeśli ktoś byłby w stanie podać jedynie wyniki, byłbym bardzo wdzięczny. Oczywiście jeśli ktoś ma ochotę pokazać sposób rozwiązywania, również będzie fajnie, na pewno ułatwi mi to dalszą naukę. Nie dostaliśmy odpowiedzi, a chciałbym wiedzieć czy robię dobrze, czy muszę się jeszcze douczyć. Za każdy odzew z góry dziękuje.
1. Znajdź część rzeczywistą i urojoną liczny zespolonej
a) \(\displaystyle{ \frac{\overline{(7i+1)(3-i)}}{i^{14} (2i+2)}}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{4i(1-16i)-(1+i)^{3}}{(i+2)(2i+1)}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{2i- \frac{1}{2} }{i+1}}\)
d) \(\displaystyle{ ( \sqrt{3} -7i)(3+4i)}\)
2. Znajdź postać trygono liczby zespolonej.
a) \(\displaystyle{ -2 \frac{\overline{(1+i)}(2-i)+3i}{i+ \sqrt{3} }}\)
b) \(\displaystyle{ \frac{6- \sqrt{3}+3i }{3+ \sqrt{3}i } -i}\)
c) \(\displaystyle{ sin\alpha+i(1-cos \alpha)}\)
I tutaj jeszcze jedno zadanie, którego jeszcze nie miałem na wykładzie:
3. Wyraź za pomocą \(\displaystyle{ cos(x)}\) i \(\displaystyle{ sin(x)}\) następujące wyrażenia
a) \(\displaystyle{ sin(3x)}\)
b) \(\displaystyle{ tan(4x)}\)
c) \(\displaystyle{ ctg(3x)}\)
Przy tym zadaniu prosiłbym o wytłumaczenie rozwiązania.
Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 8 paź 2010, o 09:35 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
Podstawy liczb zespolonych
3.
\(\displaystyle{ \begin{aligned}
z&=\cos x+i\sin x\\
z^3&=\cos 3x+i\sin 3x
\end{aligned}}\)
Z drugiej strony podnieś \(\displaystyle{ z}\) do trzeciej potęgi używając zwykłego wzoru skróconego mnożenia i porównaj części rzeczywiste i urojone w obu otrzymanych postaciach. Z tangensem i cotangensem robimy identycznie: podstawową rzeczą są sinusy i cosinusy.
\(\displaystyle{ \begin{aligned}
z&=\cos x+i\sin x\\
z^3&=\cos 3x+i\sin 3x
\end{aligned}}\)
Z drugiej strony podnieś \(\displaystyle{ z}\) do trzeciej potęgi używając zwykłego wzoru skróconego mnożenia i porównaj części rzeczywiste i urojone w obu otrzymanych postaciach. Z tangensem i cotangensem robimy identycznie: podstawową rzeczą są sinusy i cosinusy.
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 4 sty 2007, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Podstawy liczb zespolonych
Czyli zawsze liczbę z podnosimy do potęgi 3 czy zależy to od liczby stojącej przy x?
W powyższym wypadku wygląda to tak? :
\(\displaystyle{ z ^{3} +3z ^{2}+3x+1=cos3x+isin3x}\)
Jeśli tak to co tutaj jest liczbą urojoną?
W powyższym wypadku wygląda to tak? :
\(\displaystyle{ z ^{3} +3z ^{2}+3x+1=cos3x+isin3x}\)
Jeśli tak to co tutaj jest liczbą urojoną?
Podstawy liczb zespolonych
Miałeś podnieść z do trzeciej potęgi, a tutaj masz z+1. Co oznaczyliśmy przez z?\(\displaystyle{ z ^{3} +3z ^{2}+3z+1=cos3x+isin3x}\)
Po prawej częścią urojoną jest \(\displaystyle{ \sin 3x}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 4 sty 2007, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Podstawy liczb zespolonych
Acha, czyli:
\(\displaystyle{ z=cosx+isinx
z ^{3} =cos3x+isin3x
cosx ^{3}+i ^{3}sinx ^{3}=cos3x+isin3x
i^{3}sinx^{3}=isin3x}\)
I dalej należy podzielić przez \(\displaystyle{ isinx}\) ?
\(\displaystyle{ z=cosx+isinx
z ^{3} =cos3x+isin3x
cosx ^{3}+i ^{3}sinx ^{3}=cos3x+isin3x
i^{3}sinx^{3}=isin3x}\)
I dalej należy podzielić przez \(\displaystyle{ isinx}\) ?
Podstawy liczb zespolonych
A w tej przedostatniej linii jak to się podnosi do trzeciej potęgi? Zastosuj poprawnie wzór skróconego mnożenia.
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 4 sty 2007, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Podstawy liczb zespolonych
Kurczę, racja.
\(\displaystyle{ cosx ^{3}+3cosx^{2}isinx+3cosxisinx^{2}+i ^{3}sinx ^{3}=cos3x+isin3x
i^{3}sinx^{3}=isin3x}\)
Tylko jak podnoszę do potęgi \(\displaystyle{ isinx}\) to podnoszę sinusa oraz i, czy po prostu po \(\displaystyle{ isinx^{2}}\)?
Pozdrawiam
\(\displaystyle{ cosx ^{3}+3cosx^{2}isinx+3cosxisinx^{2}+i ^{3}sinx ^{3}=cos3x+isin3x
i^{3}sinx^{3}=isin3x}\)
Tylko jak podnoszę do potęgi \(\displaystyle{ isinx}\) to podnoszę sinusa oraz i, czy po prostu po \(\displaystyle{ isinx^{2}}\)?
Pozdrawiam
Podstawy liczb zespolonych
Ciepło, ale jeszcze nie podniosłeś poprawnie. W trzecim składniku masz mieć \(\displaystyle{ i^2}\) czyli -1. Część urojona będzie przy \(\displaystyle{ i}\) (drugi składnik) oraz \(\displaystyle{ i^3=-i}\) (ostatni składnik). Mam nadzieję, że teraz już to zrobisz poprawnie
Ćwiczenie Zrób to samo z \(\displaystyle{ \cos 2x,\; \sin 2x}\). Otrzymasz znane z tablic wzory.
Ćwiczenie Zrób to samo z \(\displaystyle{ \cos 2x,\; \sin 2x}\). Otrzymasz znane z tablic wzory.
-
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 4 sty 2007, o 17:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 1 raz
Podstawy liczb zespolonych
Ok, teraz już wiem, że tutaj korzysta się ze wzoru de Moivre'a/
\(\displaystyle{ sin3x=Im(cos3x+isin3x)=Im(cosx+isinx) ^{3}=cos^{3}x+3cos^{2}xisinx+3cosxi^{2}sin^{2}x+i^{3}sin^{3}x=3cos^{2}xsinx+i^{3}sin^{3}x}\)
Mam teraz pytanie odnośnie wyznaczania pierwiastków liczb zespolonych. Mianowicie mam taki przykład
\(\displaystyle{ \sqrt{1+i \sqrt{3} }}\) i dalej jest opisany sposób rozwiązywania. Obie strony podnosimy do kwadratu, i teraz cytuje " obie liczby podnosimy do kwadratu co daje \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i=x ^{2}+2xyi+i ^{2}y ^{2}}\) , co jest równoważne z \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i=x ^{2}-y^{2}+2xyi}\)".
No i właśnie nie rozumiem skąd się bierze ta równoważność, co się dzieje z z \(\displaystyle{ i ^{2}}\)?
\(\displaystyle{ sin3x=Im(cos3x+isin3x)=Im(cosx+isinx) ^{3}=cos^{3}x+3cos^{2}xisinx+3cosxi^{2}sin^{2}x+i^{3}sin^{3}x=3cos^{2}xsinx+i^{3}sin^{3}x}\)
Mam teraz pytanie odnośnie wyznaczania pierwiastków liczb zespolonych. Mianowicie mam taki przykład
\(\displaystyle{ \sqrt{1+i \sqrt{3} }}\) i dalej jest opisany sposób rozwiązywania. Obie strony podnosimy do kwadratu, i teraz cytuje " obie liczby podnosimy do kwadratu co daje \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i=x ^{2}+2xyi+i ^{2}y ^{2}}\) , co jest równoważne z \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i=x ^{2}-y^{2}+2xyi}\)".
No i właśnie nie rozumiem skąd się bierze ta równoważność, co się dzieje z z \(\displaystyle{ i ^{2}}\)?