Podstawy liczb zespolonych

[KrawieC]

Witam

Właśnie zaczęliśmy liczby zespolone, dostaliśmy kilka zadań do wykonania. Jeśli ktoś byłby w stanie podać jedynie wyniki, byłbym bardzo wdzięczny. Oczywiście jeśli ktoś ma ochotę pokazać sposób rozwiązywania, również będzie fajnie, na pewno ułatwi mi to dalszą naukę. Nie dostaliśmy odpowiedzi, a chciałbym wiedzieć czy robię dobrze, czy muszę się jeszcze douczyć. Za każdy odzew z góry dziękuje.

1. Znajdź część rzeczywistą i urojoną liczny zespolonej



a) \(\displaystyle{ \frac{\overline{(7i+1)(3-i)}}{i^{14} (2i+2)}}\)


b) \(\displaystyle{ \frac{4i(1-16i)-(1+i)^{3}}{(i+2)(2i+1)}}\)


c) \(\displaystyle{ \frac{2i- \frac{1}{2} }{i+1}}\)


d) \(\displaystyle{ ( \sqrt{3} -7i)(3+4i)}\)


2. Znajdź postać trygono liczby zespolonej.


a) \(\displaystyle{ -2 \frac{\overline{(1+i)}(2-i)+3i}{i+ \sqrt{3} }}\)


b) \(\displaystyle{ \frac{6- \sqrt{3}+3i }{3+ \sqrt{3}i } -i}\)


c) \(\displaystyle{ sin\alpha+i(1-cos \alpha)}\)

I tutaj jeszcze jedno zadanie, którego jeszcze nie miałem na wykładzie:

3. Wyraź za pomocą \(\displaystyle{ cos(x)}\) i \(\displaystyle{ sin(x)}\) następujące wyrażenia

a) \(\displaystyle{ sin(3x)}\)

b) \(\displaystyle{ tan(4x)}\)

c) \(\displaystyle{ ctg(3x)}\)

Przy tym zadaniu prosiłbym o wytłumaczenie rozwiązania.

Pozdrawiam

[szw1710]

3.

\(\displaystyle{ \begin{aligned}
z&=\cos x+i\sin x\\
z^3&=\cos 3x+i\sin 3x
\end{aligned}}\)

Z drugiej strony podnieś \(\displaystyle{ z}\) do trzeciej potęgi używając zwykłego wzoru skróconego mnożenia i porównaj części rzeczywiste i urojone w obu otrzymanych postaciach. Z tangensem i cotangensem robimy identycznie: podstawową rzeczą są sinusy i cosinusy.

[KrawieC]

Czyli zawsze liczbę z podnosimy do potęgi 3 czy zależy to od liczby stojącej przy x?

W powyższym wypadku wygląda to tak? :

\(\displaystyle{ z ^{3} +3z ^{2}+3x+1=cos3x+isin3x}\)

Jeśli tak to co tutaj jest liczbą urojoną?

[szw1710]

\(\displaystyle{ z ^{3} +3z ^{2}+3z+1=cos3x+isin3x}\)

Miałeś podnieść z do trzeciej potęgi, a tutaj masz z+1. Co oznaczyliśmy przez z?

Po prawej częścią urojoną jest \(\displaystyle{ \sin 3x}\)

[KrawieC]

Acha, czyli:

\(\displaystyle{ z=cosx+isinx

z ^{3} =cos3x+isin3x

cosx ^{3}+i ^{3}sinx ^{3}=cos3x+isin3x

i^{3}sinx^{3}=isin3x}\)

I dalej należy podzielić przez \(\displaystyle{ isinx}\) ?

[szw1710]

A w tej przedostatniej linii jak to się podnosi do trzeciej potęgi? Zastosuj poprawnie wzór skróconego mnożenia.

[KrawieC]

Kurczę, racja.

\(\displaystyle{ cosx ^{3}+3cosx^{2}isinx+3cosxisinx^{2}+i ^{3}sinx ^{3}=cos3x+isin3x

i^{3}sinx^{3}=isin3x}\)

Tylko jak podnoszę do potęgi \(\displaystyle{ isinx}\) to podnoszę sinusa oraz i, czy po prostu po \(\displaystyle{ isinx^{2}}\)?

Pozdrawiam

[szw1710]

Ciepło, ale jeszcze nie podniosłeś poprawnie. W trzecim składniku masz mieć \(\displaystyle{ i^2}\) czyli -1. Część urojona będzie przy \(\displaystyle{ i}\) (drugi składnik) oraz \(\displaystyle{ i^3=-i}\) (ostatni składnik). Mam nadzieję, że teraz już to zrobisz poprawnie

Ćwiczenie Zrób to samo z \(\displaystyle{ \cos 2x,\; \sin 2x}\). Otrzymasz znane z tablic wzory.

[KrawieC]

Ok, teraz już wiem, że tutaj korzysta się ze wzoru de Moivre'a/


\(\displaystyle{ sin3x=Im(cos3x+isin3x)=Im(cosx+isinx) ^{3}=cos^{3}x+3cos^{2}xisinx+3cosxi^{2}sin^{2}x+i^{3}sin^{3}x=3cos^{2}xsinx+i^{3}sin^{3}x}\)

Mam teraz pytanie odnośnie wyznaczania pierwiastków liczb zespolonych. Mianowicie mam taki przykład

\(\displaystyle{ \sqrt{1+i \sqrt{3} }}\) i dalej jest opisany sposób rozwiązywania. Obie strony podnosimy do kwadratu, i teraz cytuje " obie liczby podnosimy do kwadratu co daje \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i=x ^{2}+2xyi+i ^{2}y ^{2}}\) , co jest równoważne z \(\displaystyle{ 1+\sqrt{3}i=x ^{2}-y^{2}+2xyi}\)".

No i właśnie nie rozumiem skąd się bierze ta równoważność, co się dzieje z z \(\displaystyle{ i ^{2}}\)?

[Crizz]

\(\displaystyle{ i^{2}=-1}\)