Potęgowanie liczb zespolonych

[Kasiek91]

Pomoże mi ktoś? Bo za cholerę nie wiem o co chodzi. Byłabym wdzięczna za wytłumaczenie tego.

\(\displaystyle{ 1)}\) \(\displaystyle{ \left( \frac{1 + i}{1 - i}\right) ^{5}}\)

\(\displaystyle{ 2)}\) \(\displaystyle{ \left(\frac{ \sqrt{3} - i}{2}\right) ^{12}}\)

\(\displaystyle{ 3)}\) \(\displaystyle{ \frac{\left( 1 + i \sqrt{3} \right)^{13} }{\left( \sqrt{3} - i \right)^{11} }}\)

\(\displaystyle{ 4)}\) \(\displaystyle{ \left( 1 + i \right)^{-6}}\)

[Afish]

Najpierw przedstaw liczby w postaci trygonometrycznej, a potem wykorzystaj wzór de Moivre'a. Aby przedstawić liczby w odpowiedniej postaci przemnażaj ułamki przez sprzężenie mianownika.

[Inkwizytor]

1) Zanim zaczniesz potęgować najpierw zajmij sie samym ułamkiem. Pozbądź się jednostki urojonej z mianownika (sprzężenie liczby zespolonej bedzie pomocne)

2) \(\displaystyle{ \frac{1}{2^{12}} \cdot (\sqrt{3} - i)^{12}}\) i jedziesz de Moivrem

3) Dla ułatwienia:
\(\displaystyle{ \frac{\left( 1 + i \sqrt{3} \right)^{13} }{\left( \sqrt{3} - i \right)^{11} } \cdot \frac{i^11}{i^11}}\)
W mianowniku wciągnij pod nawias. Będzie znacznie prościej sie liczyło

4) Najpierw rozwiąż \(\displaystyle{ \left( 1 + i \right)^{6}}\) potem wynik wrzucasz do mianownika: \(\displaystyle{ \frac{1}{wynik}}\) kopiujesz metodę z przykładu 1.

[Kasiek91]

A da się bez tego "wzoru de Moivre'a"? Bo nie ogarniam, a tego wzoru nie używaliśmy jeszcze.

[Afish]

Da się. Najpierw i tak musisz pozbyć się niewygodnych mianowników mnożąc przez sprzężenia, a potem po prostu podnieść do odpowiedniej potęgi. Ale to sztuka dla sztuki i masa niepotrzebnej roboty.

[Inkwizytor]

Jak nie Moivrem to wzory skróconego mnożenia. ale życzę powodzenia w rozwijaniu 12 potęgi Nie mówiąc już o przykładach w których dostaniesz wyższe potęgi...