wyznacz wsztystkie pierwiastki w dziedzinie zespolonej

[bartol222]

zadanie: \(\displaystyle{ z^3=12}\).
Moje pytanie brzmi czy aby to obliczyć mogę zrobić tak:
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{12}}\) ?

\(\displaystyle{ |z| = 12}\),
\(\displaystyle{ \alpha =arctg \frac{b}{a}}\),
"a", "b" odczytane z wykresu, \(\displaystyle{ \alpha}\) w zasadzie tez
\(\displaystyle{ a=12,
b=0}\),
to wszystko podstawić do wzoru
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}= \sqrt[n]{|z|} (cos \frac{ \alpha +2k \pi }{n}+ i sin \frac{ \alpha +2k \pi }{n})}\), gdzie k =0,1,2,3.

Ewentualnie jak skorzystać ze wzoru na potęgowanie liczb zespolonych ?

[Crizz]

Myślę, że wyznaczenie postaci trygonometrycznej jest dużo prostsze:
\(\displaystyle{ 12=12+ 0 \cdot i=12\left(cos0+isin0\right)}\)

[bartol222]

A to nie jest za proste rozwiązanie ?

[Crizz]

Czemu za proste? dodatnie liczby rzeczywiste mają argument równy zero (bo leżą na dodatniej półosi Ox). Teraz do wzoru:

\(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt[3]{12}\left(cos\frac{0}{3}+isin\frac{0}{3}\right)}\) (czyli zwykły pierwiastek arytmetyczny trzeciego stopnia z 12)
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt[3]{12}\left(cos\frac{0+2\pi}{3}+isin\frac{0+2\pi}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=\sqrt[3]{12}\left(cos\frac{0+4\pi}{3}+isin\frac{0+4\pi}{3}\right)}\)
i dalej upraszczać.