Nierówności z liczbami zespolonymi

[emmail]

Proszę o pomoc w kilku przykładach z liczb zespolonych.
1) \(\displaystyle{ im \frac{2i}{\overline{z}}<0}\)

\(\displaystyle{ im(\frac{2i}{x-iy}) < 0 \Leftrightarrow im(\frac{2i(x+iy)}{x^2+y^2}) < 0 \Leftrightarrow im(\frac{2ix+2i^2y}{x^2+y^2}) < 0 \Leftrightarrow \\ im( i \frac{2x}{x^2+y^2} - \frac{2y}{x^2+y^2}) < 0}\)

Teraz bierzemy część urojoną (tą z `i`) i mamy \(\displaystyle{ \frac{2x}{x^2+y^2} < 0}\)
Wiadomo, że mianownik będzie zawsze większy od zera więc rozpatrujemy licznik.
\(\displaystyle{ 2x < 0 \Leftrightarrow x<0}\)
Czy ja to dobrze rozumuję?

2) Narysuj: \(\displaystyle{ A=\left\{ z \in C, \ \left| \frac{z+2i}{\overline{z}-i} \right| \le 1\right\}}\)
Tego kompletnie nie wiem jak zrobić.

3) Narysuj: \(\displaystyle{ A=\left\{ z \in C, \ \left| z^2+4\right| \le \left|z+2i\right|\right\}}\)

4) \(\displaystyle{ (z^2+1 - \sqrt{3} i)( \frac{z+1}{\overline{z}-1} +1)=0}\)

Z pierwszego nawiasu wyszło mi: \(\displaystyle{ z_{1} = \frac{ \sqrt{2} }{2} +i\frac{ \sqrt{3} }{\sqrt{2}} \ oraz \ z _{2} = -\frac{ \sqrt{2} }{2} - i\frac{ \sqrt{3} }{\sqrt{2}}}\) a z drugiego \(\displaystyle{ z _{3} =-i}\)
Czy dobrze?

5) Narysuj: \(\displaystyle{ A=\left\{ z \in C, \ \left|\frac{z-2 }{z+3i} \right| \ge 1 \wedge re(z-i)^2 \ge 0 \right\}}\)
Pomóżcie w rozwiązaniach.

[Crizz]

1.) Przekształcenia wyglądają OK, nie wiem tylko czemu zapisujesz przekształcenia nierówności bez symboli \(\displaystyle{ im}\), przecież do rozwiązania była inna nierówność. Wynik też OK.

2.) Na razie czegoś tu brakuje (podany warunek nie jest formą zdaniową). Może coś źle przepisane?

4.) Powinno być również np. \(\displaystyle{ z_{4}=0,z_{5}=2i}\) i takich liczb jest więcej; ponieważ zgubiłeś rozwiązania, to może pokaż obliczenia.

-- 6 października 2010, 17:01 --

5.) Zacznij od wyznaczenia dziedziny (w mianowniku możemy mieć problem), potem pomnóż obie strony przez \(\displaystyle{ |z+3i|}\) (możemy tak zrobić, bo moduł niezerowej liczby jest dodatni). Na koniec podstaw \(\displaystyle{ z=x+yi}\). W drugim warunku od razu możesz zastosować wspomniane podstawienie (rozumiem, ze kwadrat odnosi się do wyrażenia pod znakiem \(\displaystyle{ re}\)).

[emmail]

1) Poprawiona.

2) Racja. Poprawione.

4) \(\displaystyle{ x^2+2ixy+i^2y^2+1- \sqrt{3} i=0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-y^2+1=0 \\ 2xy- \sqrt{3} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x= \frac{ \sqrt{3} }{2y} \\ \frac{3}{4y^2} -y^2+1=0\end{cases} \Leftrightarrow}\) i z tego wyszło: \(\displaystyle{ \begin{cases} x=- \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y=- \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{cases} \vee \begin{cases} x= \frac{ \sqrt{2} }{2} \\ y= \frac{ \sqrt{3} }{2} \end{cases}}\)
Natomiast z drugiego nawiasu (czyli \(\displaystyle{ ( \frac{z+1}{\overline{z}-1} +1)=0}\)):


\(\displaystyle{ \frac{x+iy+1}{x-iy-1}+1=0 \Leftrightarrow \frac{x+iy+1+x-iy-1}{x-iy-1} =0 \Leftrightarrow \frac{2x}{x-iy-1} =0}\) i właśnie tu stanąłem i nie wiem jak się dalej ruszyć.


5) Wyznaczyłem dziedzinę. \(\displaystyle{ z \neq -3i}\)
Teraz z tego co mówisz powinno być \(\displaystyle{ \left| z-2 \right| \ge \left| z+3i\right|}\)
Tylko jak dalej... :/ Są to dwa koła. Jedno o środku (2,0), drugie o środku (0,-3i). A jakie są ich promienie? Albo jak dalej to rozwiązać podstawiając pod z = x+iy?

[Crizz]

Pierwszy nawias w ogóle był OK, miałem na myśli właśnie ten drugi.

Brakuje tu dziedziny (powinno być \(\displaystyle{ z \neq 1}\)). Z ostatniego równania wynika, ze \(\displaystyle{ 2x=0}\), czyli \(\displaystyle{ x=0}\). Skoro \(\displaystyle{ y}\) nam "zniknęło", to znaczy, że może być dowolne. Rozwiązaniem są zatem te liczby, które otrzymałeś z pierwszego nawiasu plus wszystkie możliwe liczby postaci \(\displaystyle{ z=ai,a \in \mathbb{R}}\).-- 6 października 2010, 17:47 --W 2. najpierw dziedzina, a potem mnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ |\overline{z}-i|}\) i możesz również podstawić \(\displaystyle{ z=x+yi}\).

[emmail]

4) Czyli poprawną odpowiedzią powinny być wszystkie `z`, które wcześniej obliczyłem plus \(\displaystyle{ z=ai ,a \in \mathbb{R}}\)? i to by było na tyle?

5) Spójrz na wcześniejszy poprawiony post.

[Crizz]

4) Tak.

5)
\(\displaystyle{ \left| z-2 \right| \ge \left| z+3i\right| \\
z=x+yi \\
\left| (x-2)+yi \right| \ge \left| x+(y+3)i\right| \\
\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}} \ge \sqrt{x^{2}+(y+3)^{2}}\)
podnosimy do kwadratu obie strony (możemy, bo i tak są nieujemne)
\(\displaystyle{ (x-2)^{2}+y^{2} \ge x^{2}+(y+3)^{2} \\
-4x-6y-5 \ge 0}\)
czyli otrzymujemy półpłaszczyznę (jeśli punkt \(\displaystyle{ (0,-3)}\) należy do tej półpłaszczyzny, to musimy go oczywiście odrzucić).

[emmail]

5) No dobra, tylko powiedz mi jak zapisać prawidłowo ostateczną odpowiedź. Bo sprawdziłem i punkt należy do tej półpłaszczyzny. Tylko jak go wykluczyć i to zapisać?

[Crizz]

Tzn polecenie brzmiało "zaznacz zbiór", czyli zaznaczasz po prostu podaną półpłaszczyznę na płaszczyźnie Gaussa, a punkt \(\displaystyle{ (0,-3)}\) bierzesz w kółko.

[emmail]

No tak. Dokładnie jest jak mówisz. Dzięki wielkie za pomoc. Olśniłeś mnie