pierwiastki wielomianu w dziedzinie zespolonej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
daktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 lis 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

pierwiastki wielomianu w dziedzinie zespolonej

Post autor: daktor »

Witam. Mam takie zadanko.
Znajdź w dziedzinie zespolonej pierwiastki wielomianu.
W(z) = \(\displaystyle{ z^{4} - 3z^{3} + 4z^{2} - 6z + 4}\)
Bardzo prosze o pomoc w rozwiązaniu. Czy prawdziwe jest tu założenie tak jak przy pierwiastkiach całkowitych, że możliwe pierwiastki to podzielniki wyrazu wolnego?
Awatar użytkownika
marcia07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 20 sie 2006, o 14:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 5 razy

pierwiastki wielomianu w dziedzinie zespolonej

Post autor: marcia07 »

daktor pisze:Czy prawdziwe jest tu założenie tak jak przy pierwiastkiach całkowitych, że możliwe pierwiastki to podzielniki wyrazu wolnego?
tak,dopóki mówimy o pierwiastkach rzeczywistych.bo w zespolonych trzeba "dodac" i oraz -i. przykład: jeśli w rzeczywistyh mozlie sa: 1 lub -1 lub 2 lub -2, to w zespolonych: 1,-1,2,-2,i,-i,2i,-2i.

W(1) = 0
\(\displaystyle{ (z^{4} - 3z^{3} + 4z^{2} - 6z + 4):(z-1) = z^{3} - 2z^{2} + 2z - 4}\)
W1(2)=0
\(\displaystyle{ (z^{3} - 2z^{2} + 2z - 4):(z-2) = z^{2} + 2}\)
\(\displaystyle{ z^{2}+2}\) delta=-8 = \(\displaystyle{ 8i^{2}}\)
z=-√2i lub z=√2i
czyli wszystkie pierwiastki to: {1,2,2i,-2i}
Ostatnio zmieniony 12 lis 2006, o 14:28 przez marcia07, łącznie zmieniany 2 razy.
daktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 lis 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

pierwiastki wielomianu w dziedzinie zespolonej

Post autor: daktor »

Super, bardzo dziękuje.
Mam jeszcze tylko jedną wątpliwość. Czy delta z \(\displaystyle{ z^2+2}\) to czasem nie \(\displaystyle{ -8}\) bo nie wiem skąd wzięło się to -16 . I wtedy \(\displaystyle{ z=\sqrt{2}i}\) lub \(\displaystyle{ z=-\sqrt{2}i}\)?
Awatar użytkownika
Calasilyar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

pierwiastki wielomianu w dziedzinie zespolonej

Post autor: Calasilyar »

nawet bez delty
\(\displaystyle{ z^{2}=-2\\
z=\sqrt{-2}\;\vee\; z=-\sqrt{-2}\\
z=\sqrt{2}i\;\vee\; z=-\sqrt{2}i}\)
Awatar użytkownika
marcia07
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 20 sie 2006, o 14:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 5 razy

pierwiastki wielomianu w dziedzinie zespolonej

Post autor: marcia07 »

no jasne ze -8. niew eim o czym myślalam jak pisalam -16. oczywiście ze tak. już poprawiam:)
ODPOWIEDZ