Równanie zespolone - a+bi

[Under]

Rozwiązać do postaci a+ib
\(\displaystyle{ Z^{3} -8i = 0}\)
\(\displaystyle{ Z ^{3} + \left( 2i \right) ^{3} = 0}\)
korzystając ze wzoru na sumę sześcianu \(\displaystyle{ a ^{3} + b ^{3}}\)
\(\displaystyle{ \left( z+2i\right) \left( z ^{2} - 2iz - 4 \right) = 0}\)

Jedno rozwiązanie to \(\displaystyle{ z=-2i}\)
A dla drugiego delta = 12. Z wychodzi mi:
\(\displaystyle{ z= i \pm \sqrt{3}}\)
Czyli razem są 3 rozwiązania

Tak mi wyszło i nie jestem pewien czy dobrze
Z góry dziękuje za pomoc
Pozdrawiam

[osa]

pierwsze 2 są nietrudne.
zauważ, że
w pierwszym:
\(\displaystyle{ Z= \sqrt[3]{8i}}\). oczywiście są 3 rozwiązania.
drugie zupełnie analogicznie.
jeżeli chodzi o trzecie, wyszło Ci dobrze, ale spróbuj zgodnie z poleceniem zastosować wzór na sumę sześcianów!

[Under]

Ale to jest jedno zadanie
Tylko tam zamieniłem:
\(\displaystyle{ \left( 2i\right) ^{3} = 8 \cdot i ^{3} = -8i}\)

[osa]

o jezusie nazarejski. przepraszam. chyba trochę późno jest

ale szczerze mówiąc, w takim wypadku korzystanie z tego wzoru wydaje sie dosyć absurdalne. znacznie prościej jest wyciągnąć pierwiastek trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 8i}\) a potem znaleźć pozostałe 2 pierwiastki dodając \(\displaystyle{ 2\Pi/3}\) oraz \(\displaystyle{ 4\Pi/3}\) do jej argumentu ;]


niech ktoś zweryfikuje, czy to co mówię ma sens, bo najwyraźniej nie myślę już zbyt klarownie

[Under]

Próbowałem liczyć tą metodą, ale właśnie nie jestem pewien czy to dobrze.

[osa]

Na pewno nie jest zgodnie z poleceniem, bo każą policzyć korzystając z tego wzoru, ale tak na oko to jest prościej. Wystarczy sobie zrobić rysunek, bo moduł pierwiastków to 2, a argumenty pierwiastków to
\(\displaystyle{ \pi/6,\ 5\pi/6,\ 9\pi/6}\)

znowu przemyśl to co powiedziałem, bo mogę popełniać błędy

[Under]

II sposób

Chciałbym się dowiedzieć, czy dobrze to robię

Po przekształceniu: \(\displaystyle{ Z = \sqrt[3]{8i}}\)
Dla \(\displaystyle{ \sqrt[n]{Z}}\) :
\(\displaystyle{ E _{n} = cos \frac{2 \pi }{n} + i sin \frac{2 \pi }{n}}\)
U nas n = 3:
\(\displaystyle{ E _{3} = cos \frac{2 \pi }{3} + i sin \frac{2 \pi }{3}}\)

Teraz z wzorów redukcyjnych:
\(\displaystyle{ cos \frac{2 \pi }{3} - \pi = cos \left( - \frac{ \pi }{3}\right) = cos \frac{ \pi }{3} = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \frac{2 \pi }{3} - \pi = sin \left( - \frac{ \pi }{3}\right) = - sin \frac{\pi}{3} = - \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

\(\displaystyle{ E _{3} = - \frac{1}{2} - i \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)

Rozwiązania to :
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i} = \left[ 8i ; 8i \cdot \left( - \frac{1}{2} - i \frac{ \sqrt{3} }{2}\right) ; 8i \cdot \left( - \frac{1}{2} - i \frac{ \sqrt{3} }{2}\right)^{2} \right]}\)

Wystarczy teraz tylko wymnożyć i otrzymamy poszczególne rozwiązania.
Mógłby ktoś sprawdzić, czy to chodzi o to?
Pozdrawiam

[osa]

Nie. Jest coś ewidentnie źle. po pierwsze \(\displaystyle{ 8i=8\cdot (cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2})}\) więc argumenty pierwiastków będą takie jak napisałem w poprzednim poście, a nie takie jak Ty napisałeś.
(wiesz jak się je oblicza?)
Poza tym moduł trzeciego stopnia pierwiastka z \(\displaystyle{ 8i}\) to 2 !!! (skąd się wzięło 8i razy argument?)

tu masz poprawny wynik:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{8i} = \left[ 2\cdot (cos\frac{\pi}{6}+isin\frac{\pi}{6}) ;\ 2\cdot (cos\frac{5\pi}{6})+isin\frac{5\pi}{6})\ ; 2\cdot (cos\frac{9\pi}{6}+isin\frac{9\pi}{6} \right]}\)

no i wartości funkcji trygonometrycznym musisz sobie popodstawiać

[Under]

Już wiem o co chodzi

Policzyłem tak jak napisałeś.
I po wymnożeniu i zapisaniu wyniki, okazało się że wyszło mi tak samo jak tam wyżej.

[osa]

No to najlepszy dowód, że policzyłeś dobrze

sam oceń która metoda bardziej Ci pasuje. Mnie się wydaje, że moja jest szybsza, o ile zna się wartości funkcji trygonometrycznych

pozdrawiam i cieszę się, że mogłem pomóc


edit: teraz zauważyłem, że w kodzie latexa zrobiłem kilka błędów w poprzednim poście. jak jakiś moderator będzie miał chwilkę, to proszę o poprawienie

[Under]

Oczywiście dzięki za pomoc
Pozdrawiam