Równanie zespolone - doprowadzenie do postaci a+bi

[Ziemian]

Mam takie równanie:

\(\displaystyle{ 4 z^{4} - 4 z^{2} + 9 = 0

Obliczyłem do momentu gdzie

z= \sqrt{ \frac{1 \pm 2i \sqrt{2}}{2} }}\)

I chciałbym zapytać jak to dalej doprowadzić do postaci a+bi?

[Crizz]

Zaznaczam, ze nie sprawdzałem, czy to, do czego doszedłeś, jest poprawne.

Szukamy takich liczb \(\displaystyle{ a+bi}\), że
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=\frac{1}{2} + i\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ (a^{2}-b^{2})+2abi=\frac{1}{2} + i\sqrt{2}}\)

Z kryterium równości liczb zespolonych otrzymujemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}-b^{2}=\frac{1}{2} \\ 2ab=\sqrt{2} \end{cases}}\)

Wystarczy rozwiązać ten układ równań i masz odpowiedź. Potem trzeba analogicznie wyznaczyć takie liczby \(\displaystyle{ a+bi}\), że
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=\frac{1}{2} - i\sqrt{2}}\)

[Ziemian]

Dzięki za pomoc rozumiem wszystko aż do układu równań, bo jak wychodzą mi z niego dziwne rzeczy, czy mógłbyś mi pokazać jak to do końca zrobić?

[Under]

Wychodzi wszystko OK
\(\displaystyle{ b= \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)
wstawiasz i masz równanie:
\(\displaystyle{ 2a ^{4} - a ^{2} - 1 = 0}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ t=a ^{2}}\)
Dalej równanie kwadratowe, z deltą równą 9
Wydaje mi się że dalej już sobie poradzisz
Pozdrawiam

[Ziemian]

Faktycznie:) Super to wychodzi!

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam

[Under]

A czy poprawne będzie następujące rozwiązanie: ?
Korzystamy z wzorów na \(\displaystyle{ \sqrt{Z}}\)
Obliczamy \(\displaystyle{ \left| Z\right| = \sqrt{ \frac{1}{4} + 2} = \frac{3}{2}}\)
Następnie obliczamy \(\displaystyle{ x ^{2} = \frac{\left| Z\right|+a }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y ^{2} = \frac{\left| Z\right|-a }{2}}\)
\(\displaystyle{ x ^{2} = 1}\) więc \(\displaystyle{ x = 1}\)
\(\displaystyle{ y ^{2} = \frac{1}{2}}\) więc \(\displaystyle{ y = \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Wynik to:
\(\displaystyle{ Z = 1 \pm i \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Wszystko jest dobrze?

[abc666]

\(\displaystyle{ x ^{2} = 1}\) więc \(\displaystyle{ x = 1}\)
To nie jest prawda.

[Under]

A no tak \(\displaystyle{ x = 1 \vee x = -1}\)
czyli dochodzi rozwiązanie:
\(\displaystyle{ Z = -1 \pm i \frac{ \sqrt{2} }{2}}\)

Więc zadanie ma 4 rozwiązania.
Teraz już chyba wszystko dobrze

[abc666]

No, że ma 4 rozwiązania to było wiadome od początku W końcu to wielomian stopnia czwartego.