potęgowanie - wzory de moivre'a

[Xandow]

\(\displaystyle{ (\frac{ \sqrt{2}-i \sqrt{6} }{1+i}) ^{5} \\
\frac{ \sqrt{2}-i \sqrt{6} }{1+i}) * \frac{1+i}{1+i}= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2}+(- \sqrt{6}+ \sqrt{2} ) }{2} i \\ \left| z\right|= \sqrt{ \frac{6+2}{4}+ \frac{-6+2}{4} } = \sqrt{1}=1}\)
\(\displaystyle{ sin \varphi = \frac{1}{2} \\ cos \varphi = -1}\) jak obliczyć fi?
i wynik to bedzie \(\displaystyle{ 1 ^{5} (cos 5*\varphi + i sin 5 * \varphi)}\) ?

[cosinus90]

Masz błąd już na samym początku - żeby usunąć jednostkę urojoną z mianownika, mnożymy przez sprzężenie znajdującej się tam liczby zespolonej. W tym wypadku będzie to \(\displaystyle{ 1-i}\) .

[Xandow]

no tak źle przepisałem w ogóle przykład... więc jeszcze raz:
\(\displaystyle{ (\frac{ \sqrt{2}-i \sqrt{6} }{1-i}) ^{5} \\
\frac{ \sqrt{2}-i \sqrt{6} }{1-i}) * \frac{1+i}{1+i}= \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2}+(- \sqrt{6}+ \sqrt{2})i }{2}}\)
\(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{ \frac{6+2}{4}+ \frac{-6+2}{4} }=1 \\ sin \varphi =
\frac{a}{z} = \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2}}{1} \\ cos \varphi = \frac{- \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{1}}\) czy tak? i jak obliczyć kąt fi?

[janusz47]

Popełniłeś błąd obliczając moduł liczby z.
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{ (\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2})^{2}}}\)
Musisz zastosować do licznika wzory skróconego mnożenia na kwadrat sumy i różnicy dwumianu:
\(\displaystyle{ (a+b)^{2} = a^{2} +2ab +b^{2}}\)
\(\displaystyle{ (a-b)^{2} = a^{2} -2ab +b^{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \phi = \frac{Im z}{|z|}}\)
\(\displaystyle{ \cos \phi = \frac{Re z}{|z|}}\)
Pozdrawiam

[cosinus90]

Źle obliczyłeś moduł liczby z. \(\displaystyle{ ( \sqrt{6} + \sqrt{2})^{2}}\) to nie to samo co \(\displaystyle{ ( \sqrt{6})^{2} + ( \sqrt{2})^{2}}\).

[Xandow]

\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{ (\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2})^{2}} =2}\)
\(\displaystyle{ sin \phi = \frac{ \sqrt{6}+ \sqrt{2} }{4} \\
cos\phi = \frac{\sqrt{-6}+ \sqrt{2} }{4} \\}\)
skąd wziąść pi? rozume żę jak podstawie póxniej do wzoru i pomnoże przez n to będzie to już koniec zadania?

[cosinus90]

W cosinusie rozumiem, że minus jest przed pierwiastkiem
I tutaj mamy do czynienia z przypadkiem, w którym postać trygonometryczna liczby zespolonej niewiele pomaga. Trzeba łopatologicznie - dwumianem Newtona