Wzór moivre'a

[fishbone775]

Witam

Mam następujące zadanie i nie do końca wiem jak je zrobić:
Liczbę \(\displaystyle{ z=-1- \sqrt{3} i}\) przedstawić w postaci trygonometrycznej i stosując wzór Moivre'a wyznacz \(\displaystyle{ z^3}\)

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{(-1)^2+(- \sqrt{3})^2 } = 2\\

cos \varphi=- \frac{1}{2} \\
sin \varphi = - \frac{ \sqrt{3} }{2} \\
\varphi = \frac{4}{3} \pi \\

z^3=2^3(cos \frac{8}{3} \pi+i sin \frac{8}{3} \pi) \\}\)

to ma być coś takiego ? i co dalej ?

[cosinus90]

Najlepiej obliczyć wartości funkcji trygonometrycznych dla tych argumentów.

[Crizz]

Czemu \(\displaystyle{ \frac{8}{3}\pi}\)?

[fishbone775]

już na oczy nie widzę, \(\displaystyle{ \varphi}\) oczywiście

\(\displaystyle{ z^3= -4\varphi +i \frac{ \sqrt{3} }{2} \varphi}\)

coś takiego ?

[cosinus90]

Ale n nie jest równe 2

[fishbone775]

\(\displaystyle{ z^3=8(cos \frac{12}{3} \varphi + i sin \frac{12}{3} \varphi) \\

z^3=8(0+i \frac{\pi}{2} ) \\

z^3 =i4\pi \\}\)
coś takiego wymyśliłem

[cosinus90]

No nie bardzo. Po pierwsze, zapomniałeś \(\displaystyle{ \pi}\) w argumentach funkcji trygonometrycznych na początku (ale rozumiem, że to tylko przez roztargnienie bo dalej już jest). Po drugie, źle obliczyłeś wartości cosinusa i sinusa.

[Crizz]

\(\displaystyle{ z^3=8(cos \frac{12}{3} \varphi + i sin \frac{12}{3} \varphi)}\)

A nie powinno być przypadkiem \(\displaystyle{ \pi}\) zamiast \(\displaystyle{ \varphi}\)?

\(\displaystyle{ cos4\pi=1}\)
\(\displaystyle{ sin4\pi=0}\)

[fishbone775]

\(\displaystyle{ z^3=8(cos4\pi + isin4\pi)\\
z^3=8}\)

[Crizz]

Teraz OK.

[fishbone775]

Dziękuje