równanie zespolone

flannery1990 · Post autor: **flannery1990** » 9 wrz 2010, o 23:21

mam do rozwiązania następujące równanie zespolone :

\(\displaystyle{ z^{6}= (1+3i)^{12}}\)
jak sie za to zabrać ?
Proszę o wskazówki

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 9 wrz 2010, o 23:22

\(\displaystyle{ \sqrt{z} = 1+3i}\)
Dalej ze wzoru de Moivre'a.

flannery1990 · Post autor: **flannery1990** » 10 wrz 2010, o 14:00

dobrze ... ze wzoru de'Moivre'a.. czyli mam zapisać 1+3i w postaci trygonometrycznej....
\(\displaystyle{ \left|z \right| = \sqrt{10} ...}\) jeszcze teraz trzeba \(\displaystyle{ \varphi}\) .
\(\displaystyle{ \cos \varphi = \frac{\sqrt{10}}{10} ; \sin \varphi = \frac{3\sqrt{10}}{10}}\)
Jak mam teraz obliczyc \(\displaystyle{ \varphi}\) ?? musze znać przecież kąt

cosinus90 · Post autor: **cosinus90** » 10 wrz 2010, o 14:14

Niekoniecznie. Pierwsze rozwiązanie to oczywiście \(\displaystyle{ \sqrt{10}( \frac{\sqrt{10}}{10} + \frac{3\sqrt{10}}{10}i)}\), natomiast drugie to \(\displaystyle{ \sqrt{10}(cos \frac{\varphi+2 \pi }{2} + i \cdot sin \frac{\varphi+2 \pi }{2})}\). Teraz można skorzystać ze wzoru na cosinus oraz sinus sumy kątów. Jeśli znasz wartość tych funkcji dla argumentu \(\displaystyle{ \varphi}\), to obliczysz też ich wartość dla argumentu \(\displaystyle{ \frac{\varphi}{2}}\).

abc666 · Post autor: **abc666** » 10 wrz 2010, o 16:32

cosinus90, przecież jesteśmy w liczbach zespolonych. Rozwiązań będzie 6. Pierwsze rozwiązanie to \(\displaystyle{ (1+3i)^2}\) a reszta uzyskujemy po obrotach o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\)