potęgowanie i pierwiastkowanie

[tetra20]

\(\displaystyle{ Niech \ z_{1}= (-1+i)^{10} \ zas \ z_{2}=(1- \sqrt{3}i) ^{3}. \ Wyznaczyc \ \sqrt{z}, \ gdzie \ z= \frac{z _{1} }{ z_{2} } .}\)

[Crizz]

W czym jest problem? Zacznij od przedstawienia \(\displaystyle{ -1+i}\) oraz \(\displaystyle{ 1-\sqrt{3}i}\) w postaci trygonometrycznej. Potem skorzystaj ze wzoru de Moivre'a i twierdzeniu o pierwiastkach z liczby zespolonej. Najlepiej przedstaw swoje obliczenia.

[tetra20]

Mi wyszło, że \(\displaystyle{ z _{1}=-32i \ , \ z_{2}=8 \ , \ z=-4i \ , \ a \ modul \ z \ \left| z\right|=4 \ . \ A \ pierwoastki \ to \
(-2 \ i \ 2 )\ , \ czy \ dobrze?}\)

[Crizz]

\(\displaystyle{ z}\) jest wyliczone dobrze.

\(\displaystyle{ -2}\) i \(\displaystyle{ 2}\) nie mogą być prawidłowym rozwiązaniem, bo przecież \(\displaystyle{ (-2)^2=2^{2}=4 \neq -4i}\). Chyba, że miałaś na myśli pierwiastek z modułu.

Wskazówka: \(\displaystyle{ z=-4i=4(0-i)=4(cos\pi+isin\pi)}\).

[tetra20]

tzn tak:
\(\displaystyle{ z=-4i \ , \ \left|z \right| = \sqrt{ -4^{2} } =4}\)
a teraz licząć pierwiastki
\(\displaystyle{ w_{k} = \sqrt{ \left|z \right| } (cos \frac{\alpha+2k\pi}{n} + isin \frac{\alpha+2k\pi}{n})}\)
\(\displaystyle{ w _{0}= \sqrt{4} (cos0+isin 0)=2}\)
\(\displaystyle{ w_{1}= \sqrt{4}(cos\pi+isin\pi)=-2}\)

[Crizz]

Kątem jest przecież \(\displaystyle{ \pi}\).

Stąd \(\displaystyle{ w_{0}=\sqrt{4}\left(cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2}\right)}\),
\(\displaystyle{ w_{1}=\sqrt{4}\left(cos\frac{\pi+2\pi}{2}+isin\frac{\pi+2\pi}{2}\right)}\)