Wyznacz pierwiasteg 4-ego stopnia z liczby zespolonej.

[Jasiulkr]

Wyznacz pierwiastek czwartego stopnia z liczby zespolonej. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
\(\displaystyle{ -4+4 \sqrt{3} j}\)

Normalnie to bym to zrobił sprowadzając do postaci trygonometrycznej, ale to chyba nie o to chodzi bo pozniej wynik musi byc w postaci algebraicznej. Jeśli mógłby to ktoś wyjaśnić krok po kroku to byłbym wdzięczny.

[kolorowe skarpetki]

Postać algebraiczna (kanoniczna) liczby zespolonej : \(\displaystyle{ z=x+iy}\) , \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}\). Ja bym to policzyła przy pomocy właśnie postaci trygonometrycznej.

[tometomek91]

tak kolorowe skarpetki, sprowadzamy do postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ -4+4 \sqrt{3} i=r(cos\phi +isin\phi)}\)
Przyrównując części rzeczywiste i urojone mamy:
\(\displaystyle{ rcos\phi=-4\\
rsin\phi=4 \sqrt{3}}\)
czyli
\(\displaystyle{ r^2=64 \Rightarrow r=8}\)
Mamy więc
\(\displaystyle{ cos\phi=-\frac{1}{2}\\
sin\phi=\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
teraz sam już znajdziesz odpowiedni kąt \(\displaystyle{ \phi}\) i później do wzoru de Moivre'a.

[Jasiulkr]

A ten wzór de Moivre'a to ten:
\(\displaystyle{ "z^{\frac{1}{n}}=(|z|(\cos x+i\sin x))^{\frac{1}{n}}=|z|^{\frac{1}{n}}\left(\cos\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{x+2k\pi}{n}\right)\right),\quad k\in\{0,\ldots, n-1\}"}\)
czy ten??
\(\displaystyle{ "(a+bi)^k=|z|^k (\cos k\varphi+i\sin k\varphi)"}\)
Czy może ten?
\(\displaystyle{ "z^{k+1}=(a+bi)^{k+1}=|z|^{k+1}(\cos(k+1)\varphi+i\sin(k+1)\varphi)\quad"}\)

A dokładnie którego użyć bo te wzory to chyba wszystkie są de Moivre'a


i za n podstawiam 4??

[kolorowe skarpetki]

Ten pierwszy, n=4.

[Jasiulkr]

a co podstawiam za "z"??

[abc666]

No \(\displaystyle{ z}\) to twoja liczba

[tometomek91]

A czym te wzory się różnią?
\(\displaystyle{ z=-4+4 \sqrt{3}i\\
|z|=\sqrt{a^2+b^2}}\)

[Jasiulkr]

no ok ale tego na samym poczatku nie trzeba przemnozyc przez -1 bo przeciez nie ma takiego kata zeby cos =-1/2

[kolorowe skarpetki]

Oczywiście, że jest , \(\displaystyle{ \sin \alpha \in [-1,1] \, ,\ , \cos \alpha \in [-1,1]}\).

[Jasiulkr]

ok wyszło mi ze \(\displaystyle{ \alpha = 60}\)

[kolorowe skarpetki]

\(\displaystyle{ \sin \varphi=\frac{\sqrt{3}}{2} \, \, , \, \, \cos \varphi = -\frac{1}{2} \quad \Longrightarrow \quad \varphi = \frac{2}{3} \pi}\)